2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若二次函数 $y = a x^{2} + 1$ 的图象经过点 $P (1 ， 2)$ ，则该图象必经过点（）

A、（﹣1，2） B、（﹣1，﹣2） C、（1，﹣2） D、（2，1）

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2. 抛物线的对称轴为直线 $x = 3$ ， y的最大值为 $- 5$ ，且与 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的图象开口大小相同，则这条抛物线解析式为（）

A、 $y = - \frac{1}{2} (x + 3)^{2} + 5$ B、 $y = - \frac{1}{2} (x - 3)^{2} - 5$ C、 $y = \frac{1}{2} (x + 3)^{2} + 5$ D、 $y = \frac{1}{2} (x - 3)^{2} - 5$

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3. 若二次函数的图象的顶点坐标为 $(2 ， - 1)$ ，且抛物线过 $(0 ， 3)$ ），则二次函数的解析式是（）．

A、 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ B、 $y = {(x + 2)}^{2} - 1$ C、 $y = - {(x - 2)}^{2} - 1$ D、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 1$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 1$ （a，b是常数， $a \neq 0$ ）的图象经过 $A (2 ， 1)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (4 ， - 1)$ 三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线 $y = x - 1$ 上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（）

A、最大值为-1 B、最小值为-1 C、最大值为 $- \frac{1}{2}$ D、最小值为 $- \frac{1}{2}$

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5. 已知如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $A 、 C$ 的坐标分别是 $(- 3 ， 9) (2 ， 0)$ ，点 $D$ 在抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + kx$ 的图像上，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{7}{4}$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的x与y的部分对应值如下表：
$x$
-1
0
1
2
3
4
$y$
$m$
2
1
2
5
10
则 $m$ 的值是（）

A、1 B、2 C、5 D、10

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7. 已知y=ax²+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（）．

A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值-1，有最大值3 C、有最小值-3，有最大值4 D、有最小值-1，有最大值4

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8. 在“探索函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (3 ， 1)$ ， $D (2 ， 3)$ ，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

9. 已知抛物线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 关于原点成中心对称，若抛物线 $C_{1}$ 的解析式为 $y = - 3 (x + 2)^{2} - 1$ ，则抛物线 $C_{2}$ 的解析式为．

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10. 已知二次函数的图象经过点 $P (2 ， 2)$ ，顶点为 $O (0 ， 0)$ 将该图象向右平移，当它再次经过点 $P$ 时，所得抛物线的函数表达式为.

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11. 若抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 的形状相同，且经过点 $A (1 ， 0)$ ，则它的解析式为．

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12. 抛物线 $y = x^{2} - 9$ 的顶点坐标是

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13. 如图，抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 与直线 $y = b x + c (b \neq 0)$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 2 ， 4) ， B (1 ， 1)$ ，则方程 $a x^{2} = b x + c$ 的解为.

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三、解答题

14. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 x$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，其顶点记作点P．

(1)、求此抛物线的顶点P的坐标．

(2)、将抛物线 $y = a x^{2} - 4 x$ 向左平移m（ $m > 0$ ）个单位，使其顶点落在直线 $y = x$ 上，求平移后新抛物线的表达式．

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15. 深圳市某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，获得数据如表：
x（米）
0
0.5
2
3.5
5
y（米）
$\frac{5}{3}$
2.25
3
2.25
0
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：

(1)、在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象；

(2)、直接写出水流最高点距离地面的高度为米；

(3)、求该抛物线的表达式；（结果用一般式表示）

(4)、结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为米．（结果精确到0.1米）

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四、综合题

16. 在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 在抛物线 $y = x^{2} + b x + c (b > 0)$ 上，且 $A (1 ， - 1)$ ．

(1)、若 $b - c = 4$ ，求抛物线解析式；

(2)、若该抛物线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，则命题“对于任意一个 $k (0 < k < 1)$ ，都存在 $b$ ，使得 $O C = k \cdot O B$ ”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；

(3)、将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过 $(1 ， - 1)$ ，点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 为 $(1 - m ， 2 b - 1)$ ，当 $m \geq - \frac{3}{2}$ 时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．

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17. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（ $0 \leq x \leq 20$ ），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

(1)、从 $y = a x + 21 (a \neq 0)$ ， $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ， $y = - 0.04 x^{2} + b x + c$ 中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 $y$ 随 $x$ 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；

(2)、查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？

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$x$	-1	0	1	2	3	4
$y$	$m$	2	1	2	5	10

x（米）	0	0.5	2	3.5	5
y（米）	$\frac{5}{3}$	2.25	3	2.25	0