2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像和性质同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 将抛物线y=-5x $^{2}$ +1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）.

A、y=-5(x+1)² -1 B、y=-5(x-1)² -1 C、y=-5(x+1)² +3 D、y=-5(x-1)² +3

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2. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = a x + a$ 和 $y = - a x^{2} + 2 x + 2 (a$ 是常数，且 $a \neq 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} - 2 x$ 和一次函数 $y = b x + a$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 $($ 　　 $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2} - 4 x - 4$ 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} - 13$ B、 $y = {(x - 5)}^{2} - 13$ C、 $y = {(x - 5)}^{2} - 3$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$

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5. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A、abc<0 B、-3a+c<0 C、b²-4ac≥0 D、将该函数图象向左平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为y=ax²+c

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6. 点 $P (x_{1} ， 3)$ 和点 $Q (x_{2} ， 3)$ 在二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 4$ 的图象上，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $P Q = \sqrt{2} a$ ，则 $x_{1}^{2} - \frac{a}{2} x_{2} - 8$ 的值为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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7. 将抛物线 $y = - (x - 1)^{2} + 4$ 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，抛物线的解析式为（）

A、 $y = - (x + 1)^{2} + 1$ B、 $y = - (x + 3)^{2} + 1$ C、 $y = - (x - 3)^{2} + 1$ D、 $y = - (x + 1)^{2} + 7$

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8. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝ $\frac{1}{2}$ ，有下列结论：①abc＞0；
②关于x的方程ax²+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜﹣ $\frac{1}{2}$ ．
其中，正确结论的个数是（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

9. 把抛物线y＝x²+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是．

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + a^{2} - 9$ 的顶点坐标为 $(0 ， 0)$ ，且开口向上，则 $a + b$ 的值为．

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11. 如图，抛物线y=ax²+5ax+4与x轴交于C，D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD，BC.若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a=.

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12. 如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y₁=- $\frac{1}{2}$ x²+3向下平移2个单位后得抛物线y₂ ，则阴影部分的面积S=.

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x+ $\frac{3}{2}$ ）²+7与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为．

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三、解答题

14. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数 $y = - 2 x + 100$ ．（利润 $=$ 售价 $-$ 制造成本）

(1)、写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）

(2)、当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

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15. 阅读材料：我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3$ ．
原式 $= (x^{2} + 2 x + 1 - 1) - 3 = (x + 1)^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．

(1)、利用配方法分解因式： $x^{2} - 6 x - 27$ ；

(2)、当 $x$ 为何值时，多项式 $x^{2} + 6 x - 9$ 有最小值，并求出这个最小值；

(3)、已知正数 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 a - 8 b - 10 c + 50 = 0$ ，求 $a + b + c$ ．

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四、综合题

16. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点 $A (t ， 0)$ ，点 $P (1 ， 2)$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图像上

(1)、求k的值；

(2)、连接 $B P 、 C P$ ，记 $△ B C P$ 的面积为S，设 $T = 2 S - 2 t^{2}$ ，求T的最大值．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 9$ ， P是线段 $A D$ 边上的任意一点（不含端点A、D），连接 $P C$ ，过点P作 $P E ⊥ P C$ 交 $A B$ 于E．

(1)、若 $D P = 2$ ，则 $A E =$ ；

(2)、当点P在 $A D$ 上运动时，对应的点E也随之在 $A B$ 上运动，求 $B E$ 的取值范围；

(3)、在线段 $A D$ 上是否存在不同于P的点Q，使得 $Q C ⊥ Q E$ ？若存在，求线段 $A P$ 与 $A Q$ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由．

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