湘教版数学九年级下册 2.4 过不共线三点作圆同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列说法中，正确的是（）

A、平分弦的直径垂直于弦 B、圆的内接四边形的对角相等 C、三点确定一个圆 D、三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心

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2. 在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 下列命题中，正确的是（）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 90°的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等。

A、①②③ B、③④⑤ C、①②⑤ D、②④⑤

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4. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连结AB，AE，DE，CF，下列三角形中，外心是点O的是（）

A、△ABF B、△ACF C、△ADE D、△AEF

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5. 若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 下列命题中，正确的是（）
①平分弦的直径垂直于弦；②90°的圆周角所对的弦是直径；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆；④相等的圆周角所对的弧相等．

A、①② B、②③ C、②③④ D、①③④

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7. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，过点 $O$ 作 $O D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $O E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，若 $A B = 4$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、3 B、4 C、2 D、1

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8. 如图，在Rt△ABC中，二ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆的面积为 $S_{1} ， △ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{5 π}{2}$ B、 $3 π$ C、 $5 π$ D、 $\frac{11 π}{2}$

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，A为y轴正半轴上一点.已知点 $B (1 ， 0)$ ， $C (5 ， 0)$ ， $⊙ P$ 是 $△ A B C$ 的外接圆.
⑴点P的横坐标为；
⑵若 $∠ B A C$ 最大时，则点A的坐标为.

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10. 已知等边三角形ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个等边三角形ABC的最小圆的半径是

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11. 已知 $⊙ O$ 的半径为2，等边三角形ABC内接于 $⊙ O$ ，则 $△ A B C$ 的边长为，面积为.

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12. 已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC= ．

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13. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ A B C$ 的顶点A ， B均在格点上，顶点C在网格线上， $∠ B A C = 25 °$ .

(1)、线段 $A B$ 的长等于；

(2)、P是如图所示的 $△ A B C$ 的外接圆上的动点，当 $∠ P C B = 65 °$ 时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）.

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三、解答题

14. 如图，一长度为4m的梯子AB架在墙上，在点A向点C滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，则求出其长度．

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15. 如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分 $\overset{⌢}{A C}$ ，连结AD，BD，CD.

(1)、求证：AB=CD.

(2)、过点D作DG//AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G.
①若AD=a，BC=b，求线段EF的长.（用含a，b的代数式表示）
②若∠ABC=72°，求证：FG²=EF·DF.

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四、综合题

16. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．

(1)、如图1，点C是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，∠DAB是 $\overset{⌢}{B D}$ 所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．

(2)、如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝.请填写结论，并说明理由．

(3)、如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．

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17. 已知：如图，△ABC．
求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l₁和线段BC的垂直平分线l₂ ，直线l₁与l₂交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l₁在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC．
所以点D就是所求作的点．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l₁垂直平分AC，点O，D都在直线l₁上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l₂垂直平分BC，点O在直线l₂上，
∴ ▲ = ▲ ．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（）（填推理的依据）

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