2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 二次函数 $y = a x^{2} - b x - 5$ 的图象与x轴交于 $(1 ， 0) 、 (- 3 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} - b x = 5$ 的解为（）

A、1，3 B、1， $- 5$ C、 $- 1$ ， 3 D、1， $- 3$

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2. 抛物线 $y = k x^{2} - 7 x - 7$ 的图象和 $x$ 轴有两个交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq - \frac{7}{4}$ B、 $k > - \frac{7}{4}$ C、 $k \geq - \frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$ D、 $k > - \frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$

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3. 若抛物线的函数表达式为y=(x-2)²-9，有下列结论：
①当x=2时，y取得最小值-9；
②若点(3，y₁)，(4，y₂)在其图象上，则y₂>y₁；
③将其函数图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位所得抛物线的函数表达式为 $y = (x - 5)^{2} - 5 ；$ ④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.其中正确的是（）

A、②③④ B、①②④ C、①③ D、①②③④

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4. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(3,0)$ ，其部分图象如图所示，现有下列结论： $① a b c > 0$ ： $② b^{2} - 4 a c < 0$ ； $③ a + b > 0$ ； $④$ 当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小； $⑤ 3 a + c = 0$ ； $⑥ c < 4 b .$ 其中正确的结论有 $()$

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 1$ ，给出下列结论：① $b^{2} = 4 a c$ ；② $a b c > 0$ ；③ $a > c$ ；④ $4 a - 2 b + c > 0$ ，其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图；二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴分别交于 $A (- \frac{1}{2} ， 0)$ ， $B (\frac{5}{2} ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于点C，下列判断： $①$ $a b c < 0$ ； $②$ $4 a c - b^{2} > 0$ ； $③$ $c - a < 0$ ； $④$ $2 a + b = 0$ ； $⑤$ 若 $(- \frac{1}{4} ， y_{1})$ ， $(3 ， y_{2})$ 是拋物线上的两个点，则 $y_{1} > y_{2}$ ，其中正确的是（）

A、 $① ② ③$ B、 $① ② ④$ C、 $③ ④ ⑤$ D、 $① ④ ⑤$

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7. 已知 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ ，且 ${\begin{array}{l} x + n = 2 m - 3 \\ 2 x - n = m \end{array}$ ，其中 $m \leq 3$ ， $n \geq - 3$ ，则 $y$ 的取值范围（）

A、 $- 1 \leq y \leq 17$ B、 $1 \leq y \leq 17$ C、 $- 1 \leq y \leq 8$ D、 $- 1 \leq y \leq 1$

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8. 若y＝ax²+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax²+bx+c＝0的另一个解为（　　）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、1

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二、填空题

9. 已知抛物线 $y = x^{2} + 2 x + k - 1$ 与 $x$ 轴有两个交点，则 $k$ 的取值范围是．

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x + c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $(- 1 ， 0)$ ，则它与 $x$ 轴的另一个交点的坐标是．

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11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为．

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12. 扰物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，其与 $x$ 轴的一个交点的坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，则当 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围是.

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13. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax²+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．
上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）

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三、解答题

14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(1 ， m)$ ， $(3 ， n)$ ，在抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为 $x = t$ .

(1)、当 $m = n$ 时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)、点 $(x_{0} ， n) (x_{0} \neq 3)$ ，在抛物线上，若 $m < n < 4$ ，求t的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围.

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15. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的图象与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，与y轴分别交于C.

(1)、求点C的坐标；

(2)、求函数图象的对称轴；

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四、综合题

16.

(1)、计算： $2 s i n 45 ° - 2 c o s 30 ° + t a n 60 °$ .

(2)、求二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 的图象与x轴的交点坐标.

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17. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图象经过点 $A (1 ， - 2)$ 和 $B (0 ， - 5)$ ．

(1)、求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．

(2)、当 $y \leq - 2$ 时，请根据图象直接写出x的取值范围．

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