2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.5.2 矩形的判定同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）

A、一般平行四边形 B、一般四边形 C、对角线垂直的四边形 D、矩形

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2. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，在四边形ABCD中，E ， F ， G ， H分别是AB ， BC ， CD ， DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH ．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（）

A、AB＝AD B、AB⊥AD C、AC＝BD D、AC⊥BD

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A、 $A B = C D$ B、 $A D = B C$ C、 $A C = B D$ D、 $A B = B C$

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5. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）

A、∠ABD＝∠CBD B、∠ABC＝90° C、AC⊥BD D、AB＝BC

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{13}{6}$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A O$ 、 $A D$ 的中点，连接 $E F$ ，若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、 $5$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $3$

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8. 如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题

9. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ， $A C = 12$ ， $B D = 16$ ，点 $P$ 为边 $B C$ 上一点，且 $P$ 不与写 $B$ 、 $C$ 重合．过 $P$ 作 $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $P F ⊥ B D$ 于 $F$ ，连接 $E F$ ，则 $E F$ 的最小值等于．

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10. 如图，在由小正方形组成的网格图中，不含盖阴影部分的矩形的个数是.

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得 BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为．

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12. 如图，线段AD为 $△ A B C$ 的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合）， $P E ⊥ A D$ 于点E， $P F ⊥ B D$ 于点F，若 $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ，则EF的最小值为．

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13. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， P是 $B C$ 上一动点， $P E ⊥ A B$ 于点E， $P F ⊥ A C$ 于点F，M为 $E F$ 的中点．

(1)、四边形 $A E P F$ 的形状是；

(2)、 $A M$ 的最小值是．

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三、解答题

14. 如图，在▱ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：

(1)、△ABF≌△DCE.

(2)、四边形 ABCD 是矩形.

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15. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F 分别是OA，OC 的中点.

(1)、求证：BE=DF.

(2)、设 $\frac{A C}{B D} = k ，$ 当k为何值时，四边形 DEBF是矩形? 请说明理由.

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四、综合题

16. 已知：在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = 90 °$ ， $△ A B D$ 沿直线 $B D$ 翻折，点A恰好落在腰 $C D$ 上的点E处．

(1)、如图，当点E是腰 $C D$ 的中点时，求证： $△ B C D$ 是等边三角形；

(2)、延长 $B E$ 交线段 $A D$ 的延长线于点F，连接 $C F$ ，如果 $C E^{2} = D E \cdot D C$ ，求证：四边形 $A B C F$ 是矩形．

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17. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，过点D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，点F在边 $C D$ 上， $C F = A E$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证：四边形 $B F D E$ 是矩形；

(2)、已知 $∠ D A B = 60 °$ ，若 $A D = 4$ ，求 $D E$ 的长度．

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