2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.3 运用乘法公式进行计算同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（　　）

A、x⁴+x⁴＝2x⁸ B、x³•x²＝x⁶ C、（x﹣y）²＝x²﹣y² D、（x²y）³＝x⁶y³

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2. 已知a+b=-5，ab=-4，则 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值为（）

A、21 B、29 C、33 D、37

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3. 已知长方形的长为 a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，则它的面积是（）

A、8 B、12 C、15 D、16

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4. 如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=7，ab=11，那么阴影部分的面积为（）

A、24 B、16 C、9 D、8

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5. 下列运算中，错误的运算有（）.
①(2x+y)²=4x²+y²
②(a-3b)²=a²-9b²
③(-x-y)²=x²-2xy+y²
④(x- $\frac{1}{2}$ )²=x²-2x+ $\frac{1}{4}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　）
①x²﹣4x+8；②﹣x²﹣2x﹣1；③4m²+4m﹣1；④﹣m²+m $- \frac{1}{4}$ ；⑤4a⁴﹣a² $+ \frac{1}{a}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 $3 a^{3} - a^{3} = 2 a$ C、 ${(a b^{2})}^{3} = a^{3} b^{6}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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8. 计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（　　）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）²﹣b²
④a²﹣2ac﹣c²﹣b²

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题

9. 已知 $a b = 12 ， a^{2} + b^{2} = 25 ，则 {(a + b)}^{2} =$ ．

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10. 若 $x^{2} + 2 (m - 3) x + 16$ 是完全平方式，则 $m =$ ．

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11. 已知 $a^{2} - 3 a + 1 = 0$ ，求 $a^{4} + \frac{1}{a^{4}}$ 的值为.

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12. 数字“1”非常的神奇，它可以写成 $\frac{1 + 1}{2}$ ，也可以写成 $\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}$ ，还可以写成 $2 \times (1 - \frac{1}{2})$ ，请把数字“1”进行转换然后计算： $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) + \frac{1}{2^{7}} =$ .

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13. 已知(2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63，则a+b的值为．

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三、解答题

14.

(1)、计算： $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} .$

(2)、已知a-b=10，b-c=5，利用(1)的结论，求： $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c$ 的值.

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15.
探究活动：

(1)、如图 $1$ 是边长分别为 $a$ 、 $b$ 的正方形，可以求出阴影部分的面积是 $. ($ 写成两数平方差的形式 $)$

(2)、如图 $2$ ，若将图 $1$ 中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 $. ($ 写成多项式乘积的形式 $)$

(3)、比较图 $1$ 、图 $2$ 阴影部分的面积，可以得到等式：．

(4)、 $①$ 计算： $(x + 3 y) (x - 3 y) (x^{2} + 9 y^{2}) .$
$②$ 计算 $998 \times 1002$ ．

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四、综合题

16. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，请解答下列问题：

(1)、写出图2中所表示的数学等式.

(2)、根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.

(3)、利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 $a + b + c = 18$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 116$ ，则 $a b + a c + b c =$ .

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17. 阅读材料：
若x满足 $(9 - x) (x - 4) = 4$ ，求 $(9 - x)^{2} + (x - 4)^{2}$ 的值．

解：设 $9 - x = a$ ， $x - 4 = b$ ，则 $(9 - x) (x - 4) = a b = 4$ ，

∴ $a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$ ，

∴ $(9 - x)^{2} + (x - 4)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ．

类比应用：

(1)、若 $(3 - x) (x - 2) = - 1$ ，求 $(3 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．

(2)、若 $(n - 2022)^{2} + (2023 - n)^{2} = 10$ ，则 $(n - 2022) (2023 - n)$ 的值为．

(3)、已知正方形 $A B C D$ 的边长为a，点P和点R分别是边 $A B$ 和 $C D$ 上的点，且 $A P = 4$ ， $C R = 2$ ，分别以 $B P$ 和 $D R$ 为边长作正方形 $P B E F$ 和正方形 $D M N R$ ．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形 $P B E F$ 和正方形 $D M N R$ 的面积和为．

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