2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.2 完全平方公式同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（　　）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b - b^{2}$ C、 $(a + b) (b - a) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(a - b) (- a - b) = b^{2} - a^{2}$

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2. 下列运算中，正确的是（）

A、 $(a + b) (a - 2 b) = a^{2} - 2 b^{2}$ B、 ${(a - \frac{1}{2})}^{2} = a^{2} - \frac{1}{4}$ C、-2(3a-1)=-6a+1 D、 $(a + 3) (- 3 + a) = a^{2} - 9$

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3. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81.用8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64.用12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（）

A、24 B、36 C、45 D、49

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4. 如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a²， ab， ab，b²，则原正方形的边长为（）

A、 $a^{2} + b^{2}$ B、a+b C、a-b D、a²-b²

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5. 有若干个大小、形状完全相同的小长方形，现将其中4个按如图1所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分的面积为40.再用5个按如图2所示的方式摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分的面积为100(各个小长方形之间不重叠不留空)，则每个小长方形的面积为（）

A、5 B、10 C、20 D、30

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6. 小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为 $a^{2} ■ a b + 9 b^{2}$ ，则中间一项的系数是（　　）

A、6 B、 $- 6$ C、6或 $- 6$ D、18

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7. 下列运用乘法公式的计算中，正确的是（）

A、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ B、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y - y^{2}$ C、 $(x + 2 y) (x - 2 y) = x^{2} - 2 y$ D、 ${(- x + y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

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8. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式(a+b)"的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”计算(a+b)⁸的展开式中从左起第四项的系数为（）

A、84 B、56 C、35 D、28

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二、填空题

9. 已知a+b=7，ab=2，则a²+b²= ．

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10. 如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ =.

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11.

(1)、若(4a+3b)²=(4a-3b)²+A，则A= ．

(2)、若(3x-5y)²=(3x+5y)²+B，则B= ．

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12. 已知x+y=1，xy=-3，则x³y+xy³=

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13. 若代数式x²-8x+m是关于x的完全平方式。则实数m= ．

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三、解答题

14. 计算：

(1)、(3-4k)(-4k-3).

(2)、(3x+2y-1)(3x-2y+1).

(3)、 $(2 a - b + c)^{2} .$

(4)、 $(x^{2} + y^{2})^{2} (x^{2} - y^{2})^{2} ，$

(5)、 $(5 x + 2 y) (5 x - 2 y) - (3 x + 2 y) (3 x - 2 y) .$

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15. 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形.
图1 图2

(1)、直接写出图2中阴影部分的正方形的边长为

(2)、观察图2，请直接写出下列三个代数式(m+n) ² ， (m- n) ² ， mn之间的等量关系是

(3)、根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①若 p+q=9，pq=7，求(p- q) ²的值：
②若(2021- a) ²+( a - 2022) ²=7，求(2021- a) ( a- 2022)的值.

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四、综合题

16. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如： $2 a (a + b) = 2 a^{2} + 2 a b$ 就可以用图①的面积来表示．

(1)、请写出图②所表示的代数恒等式．

(2)、请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式 $(a + b) (2 a + b) = 2 a^{2} + 3 a b + b^{2}$ ．

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17. 如图，在某高铁站广场前有一块长为 $2 a + b$ ，宽为 $a + b$ 的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．

(1)、求该长方形空地的面积；（用代数式表示）

(2)、求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）

(3)、当 $a = 200$ ， $b = 100$ 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．

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