2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.4 三元一次方程组同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 对于有理数x、y定义一种运算“ $Δ$ ”： $x Δ y = a x + b y + c$ ，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知 $3 Δ 5 = 15$ ， $4 Δ 7 = 28$ ，则 $1 Δ 1$ 的值为（）

A、-1 B、-11 C、1 D、11

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2. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ y + z = - 2 \\ z + x = 9 \end{array}$ ，则x＋y＋z的值为（）

A、6 B、－6 C、5 D、－5

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3. 对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解。那么在解三元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y + z = 9 \\ x + 2 y + z = 8 \\ x + y + 2 z = 7 \end{matrix}$ 时，下列没有实现这一转化的是（）

A、 ${\begin{matrix} x - y = 1 \\ y - z = 1 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x - y = 1 \\ 3 x + y = 11 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x - z = 2 \\ 3 x + z = 10 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} y - z = 1 \\ 3 y + z = 7 \end{matrix}$

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4. 方程组 ${\begin{cases} a - b + c = 0 \\ 4 a + 2 b + c = 3 \\ 25 a + 5 b + c = 60 \end{cases}$ 消去字母c后，得到的方程一定不是（　　）

A、a+b＝1 B、a﹣b＝1 C、4a+b＝10 D、7a+b＝19

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5. 已知 $\frac{x y}{x + y}$ =1， $\frac{y z}{y + z}$ =2， $\frac{x z}{z + x}$ =3，则x的值是（）

A、1 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、﹣1

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6. 若方程组 ${\begin{matrix} 2 x - 3 y = 5 \\ a x - 2 a y = 9 \end{matrix}$ 的解x与y互为相反数，则a的值等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 中央电视台2套“开心辞典”栏目中，一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（）个正方体的重量.

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，在某张桌子上放相同的木块，R=34，S=92，则桌子的高度是（）

A、63 B、58 C、60 D、55

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二、填空题

9. “吃了端午粽，才把棉衣送”，每逢农历的五月初五端午节，大家都会阖家团聚，品尝端午粽，尽享天伦之乐.今年端午节前夕某商场结合当地的情况，对A， $B$ ， $C$ 三种粽子进行搭配销售，并推出甲、乙两种盒装粽子，每一种盒装粽子的成本是该盒中所有A， $B$ ， $C$ 三种粽子的成本之和（盒子的费用不计）.每盒甲由3个A，1个 $B$ ，1个 $C$ 组成；每盒乙由2个A，3个 $B$ ，3个 $C$ 组成.每盒甲中所有A， $B$ ， $C$ 的成本之和是1个A成本的4倍，每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%.该商场在端午节这天销售这两种盒装粽子的总销售额为14700元，总利润率为22.5%.则该商场在端午节这天销售甲种盒装粽子的总利润是元.

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10. 方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 8 \\ 2 y + 3 z = 1 \\ x + 5 z = 7 \end{array}$ 的解是．

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11. 为庆祝中国共产党成立100周年，4月某公司推出 A ， B ， C 三款纪念品，这三款纪念品的成本价格一样，都为10元/件，均加价 50% 出售， A 款产品的销量是5万件的整数倍数， B 款产品的销量是7万件的整数倍数， C 就产品的销量是4万件的整数倍，三款纪念品的总销量是20万件.5月该公司通过技术革新改良三种产品，改良后的A产品的成本降低了 20% ，销量却提高了一倍， B ， C 两款产品成本与4月相同， B 款产品的销量比4月增长了3万件， C 款产品的销量比4月提高了 50% ， A ， B ， C 三款纪念品售价均与4月相同，则5月该公司的总利润率为.

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12. 在等式 y=ax²+bx+c 中，当 x=-1 时， y=0 ；当 x=2 ， y=3 ；当 x=5 时， y=60 ，则a= ， b= ， c= ．

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13. 学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、乙两项不能兼报，学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项的人数之和为报丙项目人数的 $\frac{4}{5}$ ；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的 $\frac{1}{3}$ ，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的 $\frac{1}{4}$ ，兼报甲、丙两项目的人数与报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的 $\frac{2}{9}$ ．则报甲、乙两个项目的人数之比为．

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三、解答题

14. 有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．

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15. 在等式y＝ax²+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝﹣10；求当x＝﹣2时，y的值．

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四、综合题

16. 对于一个三位数 $n$ ，如果 $n$ 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 $7$ ，那么称这个数 $n$ 为“幸福数”．例如： $n_{1} = 935$ ， $∵ 9 + 3 - 5 = 7$ ， $∴ 935$ 是“幸福数”； $n_{2} = 701$ ， $∵ 7 + 0 - 1 = 6$ ， $∴ 701$ 不是“幸福数”．

(1)、判断845，734是否为“幸福数”？并说明理由；

(2)、若将一个“幸福数” $m$ 的个位数的2倍放到十位，原来的百位数变成个位数，原来的十位数变成百位数，得到一个新的三位数 $t$ （例如：若 $m = 654$ ，则 $t = 586$ ），若 $t$ 也是一个“幸福数”，求满足条件的所有 $m$ 的值．

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17. 先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $3 x - y = 5$ ， ……①， $2 x + 3 y = 7$ ， ……②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $x$ ， $y$ 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由①＋②×2可得 $7 x + 5 y = 19$ ，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y = - 2 \\ 2 x - 3 y = - 3 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ， $x + y =$ ；

(2)、某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

(3)、对于实数 $x$ ， $y$ ，定义新运算： $x * y = a x + b y + c$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $3 * 5 = 15$ ， $4 * 7 = 28$ ，那么 $1 * 1 =$ ．

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