2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 以下列各组三个数据作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（　　）

A、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4} ， \sqrt{5}$ B、3² ， 4² ， 5² C、1，1，2 D、9，12，15

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2. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A、直角三角形的面积 B、最大正方形的面积 C、较小两个正方形重叠部分的面积 D、最大正方形与直角三角形的面积和

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $A B ， B C ， A C$ 上，连接 $D E ， D F$ ，已知 $△ A B C$ ， $△ A D F$ ， $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $M ， N$ 分别是 $A F ， D E$ 的中点，连接 $M N$ ，当 $A D = 2 ， ∠ D N M = 4 5^{∘}$ 时， $B D$ 的长度为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为 $5$ 厘米、 $3$ 厘米、 $10$ 厘米，在长方体一底面的顶点 $A$ 有一只蚂蚁，它想吃点 $B$ 处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（）

A、 $13$ 厘米 B、 $2 \sqrt{41}$ 厘米 C、 $3 \sqrt{26}$ 厘米 D、 $\sqrt{194}$ 厘米

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5. 明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（ $A B = 1$ 尺），将它往前推进两步，一步合5尺（ $C A^{'} = 10$ 尺），此时踏板离地五尺（ $A^{'} D ＝ 5$ 尺），则秋千绳索 $O A$ 的长度为（）

A、 $10.5$ 尺 B、 $14.5$ 尺 C、20尺 D、29尺

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6. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的 $U$ 型池的示意图，该 $U$ 型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 $8 m$ 的半圆，其边缘 $A B = C D = 20 m$ ，点 $E$ 在 $C D$ 上， $C E = 5 m$ ，一名滑板爱好者从 $A$ 点滑到 $E$ 点，则他滑行的最短距离为（）m（边缘部分的厚度可以忽略不计， $π$ 取3）

A、17 B、 $3 \sqrt{41}$ C、 $4 \sqrt{34}$ D、 $3 \sqrt{89}$

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7. 如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短路线长为（）(杯壁厚度不计)

A、12cm B、17cm C、20cm D、25cm

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8. 如图， $R t △ A B O$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A O = 2$ ， $A B = 1$ ．以 $B C = 1$ ， $O B$ 为直角边，构造 $R t △ O B C$ ；再以 $C D = 1$ ， $O C$ 为直角边，构造 $R t △ O C D$ ；……，按照这个规律，在 $R t △ O H I$ 中，点 $H$ 到 $O I$ 的距离是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{110}}{11}$

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二、填空题

9. 如图，已知 $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A B = 1$ ， $A D = C D = 1$ ，则 $∠ B A D =$ °．

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10. 如图，有一台救火飞机沿东西方向 $A B$ ，由点A飞向点B ，已知点C为其中一个着火点，已知 $A B = 500 m$ ， $A C = 300 m$ ， $B C = 400 m$ ，飞机中心周围 $260 m$ 以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为 $14 m / s$ ，则着火点C受到洒水影响秒．

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11. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 $A B C D$ 、正方形 $E F G H$ 、正方形 $M N K T$ 的面积分别为 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3}$ ．若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 18$ ，则 $S_{2}$ 的值是.

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $A B = 10$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线．若 $P$ ， $Q$ 分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是．

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13. 已知一个等腰三角形纸板的顶角为 $120 °$ ，腰长为 $20 c m$ ．采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折）．在利用这个方法所得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为 $c m$ ．

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三、解答题

14. 已知如下数表：
n
2
3
4
5
……
a
2²-1
3²-1
4²-1
5²-1
……
b
4
6
8
10
……
c
2²+1
3²+1
4²⁺1
5²⁺1
……

(1)、观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= ， b= ， c= ．

(2)、试猜想：以a，b，c为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由．

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15. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB ，由点A飞向点B ，已知点C为其中一个着火点，已知 $A B = 1000 m$ ， $A C = 600 m$ ， $B C = 800 m$ ，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响。

(1)、请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？

(2)、若该飞机的速度为 $14 m / s$ ，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

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四、综合题

16. 如图1和图2所示， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A C = B C$ ，点P是底边 $A B$ 上的一个动点（不与A，B重合），连接 $P C$ ．

(1)、如图2所示，当 $P C$ 平分 $∠ A C B$ 时，求证： $A C^{2} - P C^{2} = P A \cdot P B$ ．

(2)、如图1所示，当 $P A > P B$ 时，结论 $A C^{2} - P C^{2} = P A \cdot P B$ 还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与y轴交于点 $A (0 ， 4)$ ，与x轴交于点B，与正比例函数 $y = \frac{3}{2} x$ 交于点C，点C的横坐标为2．

(1)、求一次函数 $y = k x + b$ 的表达式；

(2)、如图1，点M为线段 $O A$ 上一点，若 $S_{△ B C M} = \frac{5}{6} S_{△ B O C}$ ，求点M的坐标；

(3)、如图2，点N为线段 $O B$ 上一点，连接 $C N$ ，将 $△ B C N$ 沿直线 $C N$ 翻折得到 $△ D C N$ （点B的对应点为点D）， $C D$ 交x轴于点E．
①当点D落在y轴上时，请直接写出点D的坐标；

②若 $△ D N E$ 为直角三角形，请直接写出点N的坐标．

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n	2	3	4	5	……
a	2²-1	3²-1	4²-1	5²-1	……
b	4	6	8	10	……
c	2²+1	3²+1	4²⁺1	5²⁺1	……