2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.1 勾股定理同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则此直角三角形斜边长是（　　）

A、13 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{13}$

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2. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A ， B ， C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD的长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2.2 D、3 $- \sqrt{5}$

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3. 如图在一个高为 $3$ 米，长为 $5$ 米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）

A、 $3$ 米 B、 $4$ 米 C、 $5$ 米 D、 $7$ 米

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．按以下步骤作图：①以点 $C$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $C B$ 于点 $N$ ， $M$ ；②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A C B$ 内交于点 $G$ ；③作射线 $C G$ ．若 $A C = 4$ ， $D$ 为 $A C$ 边的中点， $E$ 为射线 $C G$ 上一动点，则 $A E + D E$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、5

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5. 如图，由六个边长为 $1$ 的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到 $△ A B C$ ，则 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高是（）

A、 $\frac{2}{5} \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{5} \sqrt{10}$

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6. 如图，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ， $A B$ 在数轴上，若以点 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧交数轴于点 $M$ ，则点 $M$ 表示的数为 $($ 　　 $)$

A、 $\sqrt{10} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为 $\frac{5}{2}$ ，则点F到BC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D ， A B = 10 ， A C = 6 ， B D = 5$ ，则点 $D$ 到 $A B$ 的距离是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

9. 2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若 $A B = 10$ ， $A F = 8$ ，则小正方形 $E F G H$ 的面积为．

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10. 如图：在△ABC中，CE平分∠ACB ， CF平分∠ACD ，且EF∥BC交AC于M ，若CM＝5，则CE²+CF²＝．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 3$ ．点D为 $△ A B C$ 外一点，满足 $∠ B A D = 15 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ，则 $△ A B D$ 的面积是．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ B D E$ 中， $∠ A B C = ∠ B D E = 90 °$ ，点 $A$ 在边 $D E$ 的中点上，若 $A B = B C$ ， $D B = D E = 2$ ，连结 $C E$ ，则 $C E$ 的长为．

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13. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ D A E = ∠ C A B = 9 0^{∘}$ ，点 $C$ 在边 $D E$ 上， $B C$ 与 $A E$ 交于点 $F$ ，若 $C E = 1 ， D C = 3$ ，记 $△ A B F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C E F$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2} =$ .

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三、解答题

14. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．

(1)、如图 $1$ ，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法 $1$ ： $S_{大正方形} =$ ；方法 $2$ ： $S_{大正方形} =$ ；根据以上信息，可以得到的等式是；

(2)、如图 $2$ ，大正方形是由四个边长分别为 $a ， b ， c$ 的直角三角形（ $c$ 为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到 $a ， b ， c$ 之间的数量关系；

(3)、在（ $2$ ）的条件下，若 $a = 3 ， b = 4$ ，求斜边 $c$ 的值．

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15. 已知， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 是从点 $D$ 出发的三条线段，且 $D A = D B = D C$ ．

(1)、如图①，若点 $D$ 在线段 $A B$ 上，连接 $A C$ ， $B C$ ，试判断 $Δ A B C$ 的形状，并说明理由．

(2)、如图②，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ ，且 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ，若 $A C = B C$ ， $A B = 16$ ， $D C = 10$ ，求 $C E$ 和 $A C$ 的长．

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四、综合题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 90 °$ ．

(1)、在斜边 $A C$ 上求作线段 $A O$ ，使 $A O = B C$ ，连接 $O B$ ；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)、若 $O B = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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17. 如图，四边形 $C E D F$ ， $∠ C E D = ∠ E D F = ∠ D F C = ∠ F C E = 90 °$ ， $C E = D E = D F = C F$ ， A是边DE上一点，过点C作 $B C ⊥ A C$ 交 $D F$ 延长线于点B ．

(1)、求证： $B D = A E + C E$ ；

(2)、设 $△ A C E$ 三边分别为a、b、c ，利用此图证明勾股定理．

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