2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.2 分式的运算同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 计算 $\frac{x - 2}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{(2 - x)^{2}}$ 的结果是（　　）

A、 $\frac{1}{x - 2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2 - x}$ D、x

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2. 已知当 $x = - 4$ 时，分式 $\frac{x - b}{2 x + a}$ 无意义；当 $x = 2$ 时，此分式的值为0，则 ${(\frac{2 a}{b})}^{2} \cdot \frac{1}{a - b} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 你听说过著名的万有引力定律吗?任何两个物体之间都有引力，如果设两个物体的质量分别为m₁(kg)，m₂(kg)，它们之间的距离为d(m)，那么它们之间的引力就是 $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{d^{2}} (N) ，$ 其中G为引力常数.人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的 $\frac{4}{45}$ ，地球的质量约占木星质量的 $\frac{3}{318}$ ，则站在地球地面上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（）

A、 $\frac{5}{2}$ 倍 B、 $\frac{2}{5}$ 倍 C、25倍 D、 $\frac{1}{4}$ 倍

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4. 已知 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{10} ，$ 则 $\frac{a^{2} - 1}{a}$ 的值为（）

A、8 B、 $\sqrt{6}$ C、±2 $\sqrt{2}$ . D、± $\sqrt{6}$

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5. 若 $p = \frac{1}{n (n + 2)} + \frac{1}{(n + 2) (n + 4)} + \frac{1}{(n + 4) (n + 6)}$ $+ \frac{1}{(n + 6) (n + 8)} + \frac{1}{(n + 8) (n + 10)} ，$ 则使 p的值最接近 $\frac{1}{10}$ 的正整数 n是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为0，则x的值为（　　）

A、1 B、-1 C、0 D、±1

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7. 下列说法中：①若 $a^{m} = 6 ， a^{n} = 3$ ，则 $a^{m - n} = 2$ ；②若 $a + b = 3 ， a b = 2$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{9}{2}$ ；③若 $(t - 2)^{2 t} = 1$ ，则 $t = 3$ 或 $t = 0$ ；④若方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 6 \\ m x + y = 4 \end{array}$ 的解也是方程组 $x - 3 y = - 2$ 的解，则 $m = 2$ ；其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 若 $a$ ， $b$ 为实数且满足 $a \neq - 1$ ， $b \neq - 1$ ，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，有以下2个结论： $①$ 若 $a b = l$ ，则 $M = N$ ； $②$ 若 $a + b = 0$ ，则 $M N \leq 0 .$ 下列判断正确的是（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都错 D、①②都对

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二、填空题

9. 设实数a，b满足 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$ ，则分式 $\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a^{2} + 4 a b + b^{2}}$ 的值是．

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10. 读一读：式子“ $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 100$ ”表示从 $1$ 开始的 $100$ 个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 $\sum_{n = 1}^{100} n$ ，这里“ $\sum$ ”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 $\sum_{n = 1}^{2016} \frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

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11. 如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是.

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12. 已知 $x$ ， $y$ ， $z$ ， $a$ ， $b$ 均为非零实数，且满足 $\frac{x y}{x + y} = \frac{1}{a^{3} - b^{3}} ， \frac{y z}{y + z} = \frac{1}{a^{3}} ， \frac{x z}{x + z} = \frac{1}{a^{3} + b^{3}} ， \frac{x y z}{x y + y z + z x} = \frac{2}{81}$ ，则 $a$ 的值为．

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13. 如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ （ $A \geq B$ ），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为“快乐分解”．例如，因为 $528 = 22 \times 24$ ， 22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．

(1)、最小的“如意数”是；

(2)、把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即 $M = A \times B$ ， A与B的和记为 $P （ M ）$ ， A与B的差记为 $Q （ M ）$ ，若 $\frac{P (M)}{Q (M)}$ 能被7整除，则M的值为．

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三、解答题

14. 嘉嘉和淇淇一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．

(1)、嘉嘉组成的分式中值最大的分式是，淇淇组成的分式中值最大的分式是；

(2)、淇淇说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”．你同意她的说法吗？通过计算说明．

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15. 阅读下面材料，并解答问题.
将分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

解：由分母为x²﹣1，可设x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b.

则x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b＝x⁴﹣x²+ax²﹣a+b＝x⁴+（a﹣1）x²﹣a+b

∴ ${\begin{cases} a - 1 = 1 \\ - a + b = - 3 \end{cases}$ ，∴ ${\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

∴ $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) - 1}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ ＝（x²+2）﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$

这样，分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 被拆分成了一个整式x²+2与一个分式﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 的和.

根据上述作法，将分式 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} - 8}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

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四、综合题

16. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． $\frac{x - 1}{x + 1} ， \frac{x^{2}}{x - 1}$ ，这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1} ， \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{3 x^{2}}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、将假分式 $\frac{4 a + 1}{2 a - 1}$ 化为整式与真分式的和的形式： $\frac{4 a + 1}{2 a - 1}$ =；

(3)、若假分式 $\frac{4 a + 1}{2 a - 1}$ 的值为正整数，则整数 $a$ 的值为；

(4)、将假分式 $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}$ 化为带分式（写出完整过程）．

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17. 如果两个分式 $P$ 与 $Q$ 的和为常数 $m$ ，且 $m$ 为正整数，则称 $P$ 与 $Q$ 互为“完美分式”，常数 $m$ 称为“完美值”，如分式 $P = \frac{x}{x + 1}$ ， $Q = \frac{1}{x + 1}$ ， $P + Q = \frac{x + 1}{x + 1} = 1$ ，则 $P$ 与 $Q$ 互为“完美分式”，“完美值” $m = 1$ ．

(1)、已知分式 $A = \frac{x - 1}{x - 4}$ ， $B = \frac{x - 7}{x - 4}$ ，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值” $m$ ；

(2)、已知分式 $C = \frac{3 x - 4}{x - 2}$ ， $D = \frac{E}{x^{2} - 4}$ ，若 $C$ 与 $D$ 互为“完美分式”，且“完美值” $m = 3$ ，其中 $x$ 为正整数，分式 $D$ 的值为正整数．
①求 $E$ 所代表的代数式；
②求 $x$ 的值．

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