2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.2 分式的运算同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 化简： $\frac{a - b}{a} + \frac{a + b}{a}$ 的结果是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、0

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2. 下列等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{3}{a + b}$ B、 $\frac{a b}{a b - b^{2}} = \frac{a}{a - b}$ C、 $\frac{2}{2 a + b} = \frac{1}{a + b}$ D、 $\frac{a}{- a + b} = - \frac{a}{a + b}$

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3. 计算 ${(- \frac{b}{a})}^{2} \cdot a^{3}$ 的结果为（　　）

A、 $a b^{2}$ B、 $- a b^{2}$ C、 $\frac{b^{2}}{a^{5}}$ D、 $- \frac{b^{2}}{a^{5}}$

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4. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} (v \neq f)$ 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）

A、 $\frac{f v}{f - v}$ B、 $\frac{f - v}{f v}$ C、 $\frac{f v}{v - f}$ D、 $\frac{v - f}{f v}$

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5. 计算 $\frac{a-1}{a}$ + $\frac{1}{a}$ ，正确的结果是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、a D、 $\frac{1}{a}$

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6. 化简（ab+b²）÷ $\frac{a^{2} - b^{2}}{a}$ 的结果是（　　）

A、 $\frac{a b}{a - b}$ B、 $\frac{a b}{a + b}$ C、 $\frac{b}{a - b}$ D、 $\frac{b}{a + b}$

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7. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞(如图)，则破损部分的式子可能是（）
化简： $(- \frac{3}{1 - x}) \div \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1}{\underline{x - 1}} \sqrt$

A、 $\frac{x - 3}{x - 1}$ B、 $\frac{x + 3}{x - 1}$ C、 $\frac{x^{t} - x + 1}{x^{2} - x}$ D、 $\frac{x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - x}$

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8. 如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（）

A、 $\frac{2 x y}{x + y}$ B、 $\frac{2 x y}{x - y}$ C、 $- 2 x y$ D、 $\frac{2 x y}{y - x}$

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二、填空题

9. 化简： $\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}$ = ．

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10. 若 $a b = 1$ ，且 $m = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $n = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$ ，则m，n的大小关系是．

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11. 在一块a平方米的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，要比10个人插秧提前3天完成.那么一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍.

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12. 已知 $2 a^{2} - 7 = 2 a ，$ 则代数式 $(a - \frac{2 a - 1}{a}) \div$ $\frac{a - 1}{a^{2}}$ 的值为.

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13. 小王化简 $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}$ 的过程如下：
解 $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}$
$= \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} \dots \dots$ 第一步
$= \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \dots . .$ 第二步
$= \frac{2 x - x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \dots . .$ 第三步
$= \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \dots . .$ 第四步
$= \frac{1}{x + 2} .$ ……第五步
小王计算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第步出现错误.直接写出正确的计算结果是.

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三、解答题

14. 先化简再求值 $(x + 1 - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$ ，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．

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15. 如图，老师在黑板上书写了一个正确的式子，然后随手用手掌捂住了式子的一部分，求老师捂住的部分．
$\times (1 + \frac{4}{x}) = x + 4$

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四、综合题

16. 定义：若分式 $M$ 与分式 $N$ 的差等于它们的积，即 $M - N = M N$ ，则称分式N是分式 $M$ 的“互联分式”．如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，因为 $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ， $\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，所以 $\frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“互联分式”．

(1)、判断分式 $\frac{3}{x + 2}$ 与分式 $\frac{3}{x + 5}$ 是否是“互联分式”，请说明理由；

(2)、小红在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“互联分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“互联分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
$∴ (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ， $∴ N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照小红的方法求分式 $\frac{x + 2}{x + 5}$ 的“互联分式”．

(3)、解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数 $a$ ， $b$ 的值，使 $\frac{4 a - 2}{b x + b}$ 是 $\frac{4 b + 2}{b x + a}$ 的“互联分式”．

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17. 下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
      $(\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x}{x - 1}$

      $= [\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}] \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第一步

      $= (\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}) \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第二步

      $= \frac{{(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第三步

      $= \frac{x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x}$ ……………………第四步

      $= \frac{2}{x (x + 1)}$ ……………………第五步

      $= \frac{2}{x^{2} + x}$ ……………………第六步

(1)、填空：
①以上化简步骤中第一步将原式中的 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ 这一项变形为 $\frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 属于；（填“整式乘法”或“因式分解”）
②以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，其依据是；
③第步开始出现错误，出现错误的具体原因是；

(2)、请直接写出该分式化简后的正确结果．

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