2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.1 分式及其基本性质同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若分式 $\frac{x + 2}{x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≠-2 B、x≠3 C、x >3 D、x <3

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2. 下列是最简分式的是（）

A、 $\frac{1 - x}{x - 1}$ B、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ D、 $\frac{4}{2 x}$

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3. 分式 $\frac{| x | - 4}{x - 4}$ 的值为0，则的值是（）

A、0 B、 $- 4$ C、4 D、 $- 4$ 或4

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4. 若 $x$ 、 $y$ 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A、 $\frac{x}{y + 1}$ B、 $\frac{x + y}{x + 1}$ C、 $\frac{x y}{x + y}$ D、 $\frac{2 x}{3 x - y}$

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5. 若分式 $\frac{(x + 3) (x - 4)}{x^{2} - 16}$ 的值为零，则 $x$ 的值为（）．

A、4或 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 3$ 或4 D、4

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6. 对于非负整数x，使得 $\frac{x^{2} + 3}{x + 3}$ 是一个正整数，则符合条件x的个数有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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7. 关于x ， y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x ， y）的对数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知三个数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{5}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{7}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + c a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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二、填空题

9. 已知非零实数x，y满足 $y = \frac{x}{x + 1}$ ，则 $\frac{x - y}{x y}$ 的值是．

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10. 约分：

(1)、 $\frac{- 16 x^{2} y^{3}}{20 x y} =$ .

(2)、 $\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 1} =$ .

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11. 不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化成整数 $\frac{0.25 a - 0.2 b}{0.1 a + 0.3 b} =$ .

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12. 当 $x$ 分别取值 $\frac{1}{2020} ， \frac{1}{2019} ， \frac{1}{2018} ， \frac{1}{2017} ， ⋯ ， \frac{1}{2} ， 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2017 ， 2018 ， 2019 ， 2020$ 时，计算代数式 $\frac{x^{2} - 1}{3 x^{2} + 3}$ 的值，将所得结果相加，其和等于．

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13. 某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．

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三、解答题

14. 已知实数a，b，c满足 $a + b + c = 0$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，求 $(a^{5} + b^{5} + c^{5}) \div a b c$ 的值.

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15. 先化简 $\frac{2 a + 2}{a} \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2}} - \frac{a}{a + 1}$ ，再在 $- 2 < a < 2$ 的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．

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四、综合题

16. 已知 $t = \frac{b x - 1}{x + a}$ $(a ， b$ 是常数， $x \neq - a) ①$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ， $b = \frac{1}{2}$ ，求 $t$ ；

(2)、试将等式 $①$ 变形成“ $A x = B$ ”形式，其中 $A$ ， $B$ 表示关于 $a$ ， $b$ ， $t$ 的整式；

(3)、若 $t$ 的取值与 $x$ 无关，请说明 $a b = - 1$ ．

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17. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)、下列分式：① $\frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ；② $\frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ；③ $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ；④ $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$ ．其中是“和谐分式”是　　（填写序号即可）；

(2)、若a为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出a的值；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东：原式= $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b}$ = $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}}$ = $\frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{(a b^{2} - b^{3}) b^{2}}$ ，

小强：原式= $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b}$ = $\frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$ ，

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　　，

请你接着小强的方法完成化简．

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