2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.1 分式及其基本性质同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若分式 $\frac{x - 3}{x + 4}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = 3$ B、 $x \neq - 4$ C、 $x \neq 3$ D、 $x = - 4$

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2. 对于分式 $\frac{- x + 2}{3 - x}$ ，下列变形正确的是（）

A、 $- \frac{x + 2}{3 - x}$ B、 $\frac{x - 2}{x - 3}$ C、 $\frac{x + 2}{- 3 - x}$ D、 $\frac{x + 2}{x - 3}$

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3. 把代数式 $\frac{x^{2} y}{x - y}$ 中的x，y同时扩大2倍后，代数式的值（）

A、扩大为原来的1倍 B、扩大为原来2倍 C、扩大为原来的4倍 D、缩小为原来的一半

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4. 若分式 $\frac{x + 3}{x - 2}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $x = - 3$ B、 $x = 2$ C、 $x \neq - 3$ D、 $x \neq 2$

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5. 把方程 $\frac{x - 1}{0.5} - \frac{0.3 x + 8}{0.7} = 16$ 的分母化成整数，结果应为（）

A、 $\frac{x - 1}{5} - \frac{3 x + 8}{7} = 16$ B、 $\frac{x - 1}{5} - \frac{3 x + 8}{7} = 160$ C、 $\frac{10 x - 10}{5} - \frac{3 x + 80}{7} = 160$ D、 $\frac{10 x - 10}{5} - \frac{3 x + 80}{7} = 16$

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6. 已知分式 $\frac{2 x + b}{x - a}$ （a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）
x的取值
2
m
$- 2$
分式的值
0
3
无解

A、 $b = - 4$ ； B、 $a = 2$ ； C、 $m = - 10$ ； D、 $a = - 2$ .

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7. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A、 $\frac{2 + x}{x - y}$ B、 $\frac{2 y}{x^{2}}$ C、 $\frac{2 y^{3}}{3 x^{2}}$ D、 $\frac{2 y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$

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8. 如图，若x为正整数，则表示分式 $\frac{x^{2} + 2 x}{(x + 2) (x + 1)}$ 的值落在（）

A、线①处 B、线②处 C、线③处 D、线④处

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{x}{x + 3}$ 有意义，则x应满足的条件是．

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10. 分式 $\frac{x + 2}{2 x - 4}$ 的值为 $0$ ，则 $x =$ ．

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11. 分式 $\frac{| x | - 1}{(x + 1) (x - 2)}$ 的值为0，则 $x =$ ．

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12. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4 ，$ 则 $\frac{a - 2 a b - b}{2 a - 2 b + 7 a b}$ 的值为.

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13. 式子① $\frac{2}{x}$ ， ② $\frac{x + y}{5}$ ， ③ $\frac{1}{2 - a}$ ， ④ $\frac{x}{π - 1}$ ， ⑤ $\frac{1}{m}$ （x+y）中，是分式的有．

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三、解答题

14. 在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论：
① $\frac{a b}{a c}$ = $\frac{b}{c}$ ， ② $\frac{b}{c}$ = $\frac{a b}{a c}$ ．
小刚说：“①②两式都对．”
小明说：“①②两式都错．”
你认为他们两人到底谁对谁错，为什么？

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15. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： $\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}$ ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： $\frac{4}{x + 1}$ ， $\frac{x + 1}{x^{2}}$ ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： $\frac{x + 2}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2} - 1}{2 x + 1}$ ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如： $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 3}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1}$ ； $\frac{x^{2}}{x - 2} = \frac{(x^{2} - 4) + 4}{x - 2} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x - 2} + \frac{4}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}$ ．

(1)、分式 $\frac{x^{2}}{2 x}$ 是分式（填“真”或“假”）；

(2)、将假分式 $\frac{3 x + 1}{x - 1}$ 、 $\frac{x^{2} + 3}{x + 2}$ 分别化为整式与真分式的和的形式；

(3)、如果分式 $\frac{2 x^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．

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四、综合题

16. 材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如： $\frac{10}{7} = 1 + \frac{3}{7} = 1 \frac{3}{7}$ .
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如： $\frac{a + 1}{a} = 1 + \frac{1}{a}$ .
$\frac{a + 2}{a - 1} = \frac{(a - 1) + 3}{a - 1} = 1 + \frac{3}{a - 1}$ .
材料二：为了研究字母a和 $\frac{1}{a}$ 分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a
…
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
…
$\frac{1}{a}$
…
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{1}{3}$
$- \frac{1}{2}$
$- 1$
无意义
1
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$
…
请根据上述材料完成下列问题：

(1)、把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： $\frac{a + 2}{a} =$ ； $\frac{a + 1}{a - 2} =$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时.随着a的增大，分式 $\frac{a + 2}{a}$ 的值（填“增大”或“减小”）；

(3)、当 $a > - 2$ 时，随着a的增大，分式 $\frac{2 a + 5}{a + 2}$ 的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.

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17. 小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式 $\frac{3 x - 2}{x + 1}$ 的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式 $\frac{3}{x + 1}$ 的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.
小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如： $\frac{7}{3}$ ＝ $\frac{3 \times 2 + 1}{3}$ ＝2+ $\frac{1}{3}$ （通常写成带分数：2 $\frac{1}{3}$ ）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将 $\frac{3 x - 2}{x + 1}$ 化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…

(1)、解决小刚提出的问题；

(2)、解决他们共同讨论的问题.

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a	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	…
$\frac{1}{a}$	…	$- \frac{1}{4}$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	无意义	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	…

x的取值	2	m	$- 2$
分式的值	0	3	无解