2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式分解同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A、a（a﹣3）＝a²﹣3a B、（a+1）²＝a²+2a+1 C、 $a + 2 = a (1 + \frac{2}{a})$ D、a²﹣9＝（a+3）（a﹣3）

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2. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x = x (x - 1)$ B、 $a (m + n) = a m + a n$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $x^{2} - 16 + 6 x = (x + 4) (x - 4) + 6 x$

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3. 下列自然数中，能整除 3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸的是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 若 $(2024^{2} - 4) (2023^{2} - 4) = 2026 \times 2022 \times$ 2021m，则m的值为（）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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5. 若三角形的三条边长分别为a，b，c且a²b-a²c+b²c-b³=0 ，则这个三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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6. 已知M=8x²-y²+6x-2，N=9x²+4y+13，则M-N的值为（）

A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能确定

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7. 把多项式 $2 x^{2} + m x - 5$ 因式分解成 $(2 x + 5) (x - n)$ ，则m的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、5 D、7

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8. 对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 $\frac{F (s)}{F (t)}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、4

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二、填空题

9. 因式分解： $m^{2} - m =$ .

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10. 若m+n＝2，mn＝1，则m³n+mn³+2m²n²＝．

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11. 对于一个两位数 $m ($ 十位和个位均不为 $0)$ ，将这个两位数 $m$ 的十位和个位上的数字对调得到新的两位数 $n$ ，称 $n$ 为 $m$ 的“对调数”，将 $n$ 放在 $m$ 的左侧得到一个四位数，记为 $m'$ ，将 $n$ 放在 $m$ 的右侧得到一个四位数，记为 $m ″$ ，规定 $F (m) = \frac{| m' - m ″ |}{99}$ ，例如： $34$ 的对调数为 $43$ ， $F (34) = \frac{| 4334 - 3443 |}{99} = 9 .$ 则 $F (35) =$ ；若 $p = 65 + a (a$ 为整数， $1 \leq a \leq 9)$ ， $q = 30 + 2 b (b$ 为整数， $1 \leq b \leq 4)$ ， $p$ 和 $q$ 的十位、个位均不为 $0$ ， $p$ 的对调数与 $q$ 的对调数之和能被 $9$ 整除，则 $\frac{F (q)}{F (p)}$ 的最小值为．

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12. 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数 $m$ ，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定 $F (m)$ 为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差 $.$ 例如：将 $27$ 交换位置后为 $72$ ，则 $2772$ 是一个“顺利数”，且 $F (2772) = 7 2^{2} - 2 7^{2} = 4455$ ，若四位正整数 $n$ ， $n$ 的千位数字为 $a$ ，百位数字为 $b$ ，十位数字为 $c$ ，个位数字为 $d$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为整数， $1 \leq a$ ， $b$ ， $c$ ， $d \leq 9$ ，且 $c < d$ ，以 $n$ 的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数” $s$ ，若 $F (s) = 1001 a + 110 b$ ，则 $a + b$ 的值为；满足条件的所有数 $n$ 的最大值为．

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13. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x⁴-y⁴ ，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x²+y²)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x³-xy² ，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是(写出一个即可).

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三、解答题

14. 将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).

(1)、用“分组分解法”因式分解：
① $x^{2} - y^{2} + x + y$ .
② $a b - a - b + 1$ .

(2)、若a，b都是正整数且满足 $a b - a - b - 6 = 0$ ，求 $2 a + b$ 的值.

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15. 先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 $a m + a n + b m + b n$ 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a ，再把它的后两项分成一组，并提出b ，从而得 $a m + a n + b m + b n = a (m + n) + b (m + n)$ ．
这时，由于 $a (m + n) + b (m + n)$ 中又有公因式 $m + n$ ，于是可提公因式 $m + n$ ，从而得到 $(m + n) (a + b)$ ，因此有 $a m + a n + b m + b n = (a m + a n) + (b m + b n) = a (m + n) + b (m + n) = (m + n) (a + b)$ ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．

(1)、请用上面材料中提供的方法分解因式：
① $a b - a c + b c - b^{2}$ ；
② $m^{2} - m n + m x - n x$ ；
③ $x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y - 4 y + 8$ ．

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，并且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = 0$ ，试判断此三角形的形状．

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四、综合题

16. 阅读：一个正整数n可以分解为两个正整数p、q的积，即 $n = p \times q$ （规定 $p \leq q$ ），在n的所有这种分解中，如果两因数p、q之差的绝对值最小，则称 $p \times q$ 是n的最优分解，称 $\frac{p}{q}$ 为n的最优分解比.

(1)、尝试：24可以分解成 $1 \times 24 、 2 \times 12 、 3 \times 8 、 4 \times 6$ ，其中 $4 \times 6$ 是24的最优分解，最优分解比为；

(2)、 $n^{2} - n$ 的最优分解是 $(n - 1) \times n$ ， $n^{2} - n$ 的最优分解比为；

(3)、请写出一个在20到40范围之间正整数：，使它的最优分解比为1；

(4)、探索：n是一个正整数（ $1 \leq n \leq 10 ）$ ，已知 $n^{2} - 2 n + 9$ 的最优分解比为 $\frac{1}{n^{2} - 2 n + 9}$ ，求 $n^{2} - 2 n + 9$ 的最小值，写出简要过程.

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17. 阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解 $x^{3} - 1$ ．
因为 $x^{3} - 1$ 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想 $x^{3} - 1$ 可以分解成 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + a x + b)$ ，展开等式右边得：
$x^{3} + (a - 1) x^{2} + (b - a) x - b$ ，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等： $a - 1 = 0$ ， $b - a = 0$ ， $- b = - 1$ ，可以求出 $a = 1$ ， $b = 1$ ．
所以 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

(1)、若 $x$ 取任意值，等式 $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + (3 - a) x + 3$ 恒成立，则 $a =$ ；

(2)、已知多项式 $x^{4} + x^{2} + 1$ 有因式 $x^{2} + x + 1$ ，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．

(3)、请判断多项式 $x^{4} - x^{2} + 1$ 是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．

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