2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式分解同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

A、 ${(x - y)}^{2} = {(x + y)}^{2} - 4 x y$ B、 $(x + y) \cdot (x - y) = x^{2} - y^{2}$ C、 $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ D、 $x^{2} - 3 x + 1 = x (x - 3) + 1$

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2. 多项式 $x^{2} - 1$ 与多项式 $x^{2} - 2 x + 1$ 的公因式为（）

A、x-1 B、x+1 C、 $x^{2} - 1$ D、(x-1)²

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3. 对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1) $= x^{2} + 2 x - 3 ，$ 从左到右的变形中，表述正确的是（）

A、都是因式分解 B、都是乘法运算 C、①是因式分解，②是乘法运算 D、①是乘法运算，②是因式分解

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4. 把整式 $x^{3} - 4 x y^{2}$ 分解因式，下列结果正确的是（）

A、 $x (x + 2 y)^{2}$ B、 $x^{3} (1 - \frac{4 y^{2}}{x})$ C、 $x (x + 2 y) (x - 2 y)$ D、 $x (x - 2 y)^{2}$

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5. 已知 $m^{2} = 3 n + a ， n^{2} = 3 m + a ， m \neq n$ ，则 $m^{2} + 2 m n + n^{2}$ 的值为（）

A、9 B、6 C、4 D、2

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6. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9$ B、 $x^{2} + 1 = x (x + \frac{1}{x})$ C、 $3 x^{2} - 3 x + 1 = 3 x (x - 1) + 1$ D、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

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7. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $y^{2} - 2 y + 4 = (y - 1)^{2} + 3$ B、 $a (x + y) = a x + a y$ C、 $10 x^{2} - 5 x = 5 x （ 2 x - 1$ ） D、 $t^{2} - 16 + 3 t = (t + 4) (t - 4) + 3 t$

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8. 已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则 $a^{2} b + {ab}^{2}$ 的值为（）

A、35 B、70 C、140 D、280

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二、填空题

9. 分解因式：mn﹣m²＝．

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10. 因式分解： $a^{3} - 16 a =$ .

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11. 多项式 $y^{2} + 2 y + m$ 因式分解后有一个因式(y-1)，则 m 的值为.

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12. 设b=2am，当m=时，可使得(a+2b)²+(2a+b)(2a-b)-4b(a+b)能化简为a².

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13. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且 $m - n > 1$ ，则称这个正整数为“智慧优数”.例如， $16 = 5^{2}$ $- 3^{2} ， 16$ 就是一个智慧优数，可以利用 $m^{2} -$ $n^{2} = (m + n) (m - n)$ 进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

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三、解答题

14. 如果一个数能表示成 $2 x^{2} + 2 x y + y^{2}$ （ $x$ ， $y$ 是整数），我们称这个数为“好数”.

(1)、写出10，11，12，…，20中的“好数”.

(2)、如果 $m$ ， $n$ 都是“好数”，请分别判断 $m + n$ 和 $m n$ 一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由.

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15. 阅读材料：教科书中提到“ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 和 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：
$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = {(x - 1)}^{2} - 2^{2} = (x - 1 + 2) (x - 1 - 2) = (x + 1) (x - 3)$
求代数式 $x^{2} - 2 x - 3$ 的最小值
$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = {(x - 1)}^{2} - 4$
∵ ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ ， ∴当 $x = 1$ 时，代数式 $x^{2} - 2 x - 3$ 有最小值 $- 4$ ．
结合以上材料解决下面的问题：

(1)、分解因式： $x^{2} + 4 x - 5$ ；

(2)、求代数式 $x^{2} + 4 x - 5$ 的最小值；

(3)、当 $a 、 b$ 为何值时， $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} + 4 b + 2024$ 有最小值？最小值是多少？

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四、综合题

16. 下面是某同学对多项式 $(m^{2} - 4 m) (m^{2} - 4 m + 8) + 16$ 进行因式分解的过程．
解：设 $m^{2} - 4 m = n$ ，
原式 $= n (n + 8) + 16$ （第一步），
      $= n^{2} + 8 n + 16$ （第二步），
      $= {(n + 4)}^{2}$ （第三步），
      $= {(m^{2} - 4 m + 4)}^{2}$ （第四步），

(1)、该同学第二步到第三步运用进行因式分解；

(2)、该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2) + 9$ 进行因式分解．

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17. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.

(1)、根据图2完成因式分解： $2 a^{2} + 2 a b =$ ；

(2)、现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为；（用含 $a ､ b$ 的式子表示）

(3)、图1中的1号和2号卡片所占面积之和为 $S_{1}$ ，两个3号卡片所占面积之和为 $S_{2}$ ，求证： $S_{1} - S_{2} ⩾ 0$ ．

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