2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下面计算正确的是（　　）

A、（a+1）²＝a²+1 B、（a²）³﹣a⁸÷a⁴＝a⁴ C、（m²n）³•m²n＝m⁸n⁴ D、（12a²b²c﹣4a²b）÷4a²b＝3bc

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2. 计算 ${(x - 1)}^{2} =$ ____．

A、 $x^{2} - 1$ B、 $x^{2} - x + 1$ C、 $x^{2} - 2 x + 1$ D、 $x^{2} + 2 x + 1$

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3. 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）

A、205 B、250 C、502 D、520

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4. 如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）

A、（a﹣b）²=a²﹣2ab+b² B、（a+b）²=a²+2ab+b² C、a²﹣b²=（a+b）（a﹣b） D、a²+ab=a（a+b）

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5. 如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）

A、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b - b^{2}$

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6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ $a > b$ ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $(a + 2 b) (a - b) = a^{2} + a b - 2 b^{2}$

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7. 如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S₂是左侧阴影部分面积S₁的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（）

A、20 B、25 C、 $\frac{49}{2}$ D、 $\frac{81}{4}$

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8. 有 $n$ 个依次排列的整式：第 $1$ 项是 $(x + 1)$ ，用第 $1$ 项乘 $(x - 1)$ ，所得之积记为 $a_{1}$ ，将第 $1$ 项加上 $(a_{1} + 1)$ 得到第 $2$ 项，再将第 $2$ 项乘 $(x - 1)$ 得到 $a_{2}$ ，将第 $2$ 项加上 $(a_{2} + 1)$ 得到第 $3$ 项 $\dots \dots$ 以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列 $4$ 个结论：
$①$ 第 $4$ 项为 $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ ；
$② a_{5} = x^{5} - 1$ ；
$③$ 若第 $2023$ 项的值为 $0$ ，则 $x^{2024} = 1$ ．
以上结论正确的个数为（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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二、填空题

9. 已知：x²﹣y²＝2023，且x﹣y＝2023，则x+y＝．

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10. 若4x²+kx+25是一个完全平方式，则k的值是．

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11. 已知 ${(x - 2025)}^{2} + {(x - 2027)}^{2} = 34$ ，则 ${(x - 2026)}^{2}$ 的值是．

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12. 用如图1所示的 $8$ 张长为 $a$ ，宽为 $b$ （ $a > b$ ）的小长方形纸片，按图 $2$ 的方式不重叠地放在矩形 $A B C D$ 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 $S$ ，当 $B C$ 的长度发生变化时，按照同样的放置方式， $S$ 始终保持不变．则 $a$ ， $b$ 之间满足的关系式为．

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13. 一个三位数A ．它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“三好数”，将“三好数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为 $A^{'}$ ，另记A和 $A^{'}$ 的和为 $F (A)$ ．例如：246满足 $2 + 6 = 4 \times 2$ ，则246是“三好数”，且 $F (A) = A + A^{'} = 246 + 642 = 888$ ，则134（选填“是”或“不是”)“三好数”；已知“三好数”M的百位数字小于个位数字，且 $\frac{F (M)}{111}$ 能被8整除，则满足条件的“三好数”M的最大值为．

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三、解答题

14. 观察下列等式，回答问题．
$(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} - 1$ ；

(1)、试求 $2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1$ 的值；

(2)、判断 $2^{2008} + 2^{2007} + 2^{2006} + \cdot \cdot \cdot + 2^{2} + 2 + 1$ 的值的个位数字是几？

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15. 如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题：

(1)、若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a+b)² ， (a-b)² ， ab之间的等量关系：

(2)、根据(1)中的等量关系解决问题：若x+y=7，xy=6，求x-y的值.

(3)、若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积.

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四、综合题

16. 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式 $.$ 例如：计算图 $1$ 的面积，把图 $1$ 看作一个大正方形 $.$ 它的面积是 $(a + b)^{2}$ ；如果把图 $1$ 看作是由 $2$ 个长方形和 $2$ 个小正方形组成的，它的面积为 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，由此得到 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．

(1)、如图 $2$ ，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 $(a + b + c)$ 的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为．

(2)、利用(1)中的结论解决以下问题：
已知 $a + b + c = 10$ ， $a b + a c + b c = 37$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；

(3)、如图 $3$ ，正方形 $A B C D$ 边长为 $a$ ，正方形 $C E F G$ 边长为 $b$ ，点 $D$ ， $G$ ， $C$ 在同一直线上，连接 $B D$ 、 $D F$ ，若 $a - b = 5$ ， $a b = 6$ ，求图 $3$ 中阴影部分的面积．

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17. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，这样就用图形面积验证了完全平方公式．

(1)、类似地，写出图2中所表示的数学等式为；

(2)、如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为；

(3)、利用上面（2）的结论解决问题：若 $x + y = 7 ， x y = 6$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值；

(4)、利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接 $B D$ 和 $B F$ ，若这两个正方形的边长满足 $a + b = 16$ ， $a b = 63$ ，请求出阴影部分的面积．

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