湖南省湘潭市雨湖区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

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一、选择题：（本题共10个小题，每个小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）

1. 下列各式中，是分式的是（）

A、 $\frac{x}{2}$ B、 $- \frac{1}{π}$ C、 $\frac{1}{2 x}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若分式 $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ 的值为0，则x的值是（）

A、3 B、－3 C、±3 D、0

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3. 将不等式组 $\{\begin{matrix} x < 1 \\ x \geq 2 \end{matrix}$ 的解集表示在数轴上，下列正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列式子是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{0.3}$

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5. 若a ， b是两个连续自然数，且满足 $a < 3 \sqrt{2} < b$ ，则ab的算术平方根为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、20 D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 下列说法中正确的个数是（）
①（－3）²的平方根是＋3；②－m²没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，已知数轴上A ， B两点表示的数分别是a ， b ，化简 $\sqrt{a^{2}} + (\sqrt{b})^{2}$ 的结果是（）

A、b－a B、a－b C、a＋b D、－a－b

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8. 下列命题的逆命题为真命题的是（）

A、全等三角形的对应角相等 B、对顶角相等 C、两直线平行，同旁内角相等 D、若 $| a | = | b |$ ，则a＝b

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9. 如图，已知线段a ， h作等腰△ABC ，使AB＝AC ，且BC＝a ， BC边上的高AD＝h ．张红的作法如下：
$(1)$ 作线段BC＝a；
$(2)$ 作线段BC的垂直平分线MN ， MN与BC相交于点D；
$(3)$ 在直线MN上截取线段h；
$(4)$ 连结AB ， AC ，则△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）

A、 $(1)$ B、 $(2)$ C、 $(3)$ D、 $(4)$

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10. 若关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} x - m \leq 0 \\ 7 - 2 x < 1 \end{matrix}$ 的整数解共有3个，则m的取值范围是（）

A、6＜m＜7 B、6≤m＜7 C、6＜m≤7 D、6≤m≤7

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二、填空题：（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11. 若 $\frac{\sqrt{x - 1}}{3}$ 有意义，则字母x应满足的条件为．

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12. 中国抗疫取得了巨大成就，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持．经医学专家测定：新型冠状病毒的直径在0.00000008米~0.00000012米，将0.00000012用科学记数法表示为．

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13. 一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠ $α$ 的度数是．

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14. 用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为6cm，则该等腰三角形的腰长为．

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15. 已知关于x的分式方程 $\frac{x}{x + 5} - \frac{m}{x + 5} = 1$ 有增根，则方程的增根为．

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16. 已知 $| a + 3 | + (b - 2)^{2} = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}$ ，则－abx的算术平方根是．

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17. 如图，在△ABC中，DE垂直平分BC ，若AB＝8，AC＝10，则△ABD的周长等于．

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18. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为．

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三、解答题：（本题共8个小题，共66分）

19. 计算： $(\sqrt{2024})^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{8} - \sqrt{12}$

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20. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，并从－2，2，4中选一个合适的数作为x的值代入求值．

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21. 若关于x的分式方程： $2 - \frac{1 - 2 k}{x - 3} = \frac{1}{3 - x}$ 的解为正数，求k的取值范围．

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22. 如图，点E、F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M ．已知AF＝BE ， AC＝BD ， ∠A＝∠B ．

(1)、求证：∠C＝∠D；

(2)、若∠FME＝60°．求证：△MFE是等边三角形．

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23. 对于两个非零有理数x ， y ，定义一种新运算： $x \otimes y = \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1} ，$ 例如： $4 \otimes 3 = \frac{2 \times 4}{4 + 1} - \frac{3}{4 + 1} = \frac{8 - 3}{5} = 1$ ．

(1)、求 $6 \otimes 5$ 的值；

(2)、若 $a \otimes 1 = 1$ ，求a的值．

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24. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数a ， b ，使a＋b＝m ， ab＝n ，使得 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ ．
例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ ．
解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里m＝7，n＝12，由于4＋3＝7，4×3＝12，即 $(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，
∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4})^{2} + 2 \sqrt{4} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ ．
仿照上例，回答问题：

(1)、计算： $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \dots + \sqrt{19 - 2 \sqrt{90}}$ ．

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25. 由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲种型号手机二月份售价比一份月每台降价500元．如果卖出相同数量的甲种型号手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元．

(1)、一月甲种型号手机每台售价为多少元？

(2)、为了提高利润，该店计划三月购进乙种型号手机销售，已知甲种型号每台进价为3500元，乙种型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.5万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？

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26. 已知，在△ABC中，AB＝AC ， D ， A ， E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
图① 图② 图③

(1)、如图①，若AB⊥AC ，则BD与AE的数量关系为， BD ， CE与DE的数量关系为；

(2)、如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

(3)、如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC ， BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x ，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．

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