河北省石家庄市平山县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

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一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1~10小题各3分，11~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是．（）

A、 $\frac{1}{x} + x = 2$ B、 $x^{2} - 2 y = 0$ C、 $x^{2} + 2 x = x^{2} - 1$ D、 $x^{2} = 0$

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3. 下列事件是随机事件的是（）

A、三角形内角和为360度 B、测量某天的最低气温，结果为 $- 120 ℃$ C、买一张彩票，中奖 D、太阳从东方升起

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4. 若点M在抛物线 $y = {(x + 3)}^{2} - 4$ 的对称轴上，则点M的坐标可能是（）

A、 $(3 ， - 4)$ B、 $(- 3 ， 0)$ C、 $(3 ， 0)$ D、 $(0 ， - 4)$

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5. 已知， $⊙ O$ 的半径 $O E = \sqrt{3}$ ，若 $O F = 2$ ，则直线 $E F$ 与 $⊙ O$ 位置图形可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 点 $(2 ， - 3)$ 在函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上，下列说法中错误的是（）

A、它的图象分布在二、四象限 B、当 $x > 0$ 时，y的值随x的增大而增大 C、当 $x < 0$ 时，y的值随x的增大而减小 D、它的图象过点 $(- 1 ， 6)$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为 $(- 3 ， 1)$ ， $(- 1 ， 4)$ ．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将 $△ A B C$ 缩小，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(\frac{3}{2} ， - \frac{1}{2})$

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8. 若点 $P (m ， - 4)$ 与点 $Q (1 ， n)$ 关于原点对称，则 $m^{n}$ 的值为（）

A、1 B、4 C、 $- 1$ D、 $- 4$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = α$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转90°得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，点B的对应点B在边 $A C$ 上（不与点A，C重合），则 $∠ A A^{'} B^{'}$ 的度数为（）

A、α B、 $α - 45 °$ C、 $45 ° - α$ D、 $90 ° - α$

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10. 10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 380$ B、 $x (x - 1) = 380$ C、 $2 x (x - 1) = 380$ D、 $x^{2} = 380$

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11. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，过点A分别作x轴的垂线，垂足为B，若 $△ O A B$ 的面积为1，则k的值为（）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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12. 如图，点A、点B、点C均在 $⊙ O$ 上， $A D$ 是直径且 $A D = 2$ ， $∠ B = 45 °$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = b x + c$ 的图象和反比例函数 $y = \frac{a - b + c}{x}$ 的图象在同一坐标系中大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14. 如图，抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ 与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段 $A B$ 上运动， $A B / / x$ 轴， $B (1 ， - 1)$ ， $A B = 3$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $b^{2} - 4 c < 0$ B、当 $x > 0$ 时，一定有y随x的增大而增大 C、 $0 \leq c \leq 3$ D、若点C的坐标为 $(m ， 0)$ ，则点D的坐标为 $(m + 2 ， 0)$

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15. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ O$ 经过点 $(0 ， 10)$ ，直线 $y = k x + 2 k - 4$ 与 $⊙ O$ 交于B、C两点，则弦 $B C$ 的最小值是（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $10 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{5}$ D、以上都不对

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16. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + x + 2$ 及一次函数 $y = x + m$ ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线 $y = x + m$ 与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{4} < m < - 3$ B、 $- \frac{25}{4} < m \leq 1$ C、 $- 2 < m < 1$ D、 $- 3 < m < - 2$

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分．其中17、18小题每小题3分，19小题每空2分）

17. 在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有个．

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18. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点都在 $5 \times 5$ 的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转到 $△ A^{'} B C^{'}$ 的位置，且点 $A^{'}$ 、 $C^{'}$ 仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是．（保留π）

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19. 如图，M是 $R t △ A B C$ 斜边 $A B$ 上的中点，将 $R t △ A B C$ 绕点B旋转，A使得点C落在射线 $C M$ 上的点D处，点A落在点E处，边 $E D$ 的延长线交边 $A C$ 于点F．如果 $B C = 3$ ． $A C = 4$ ．那么 $B E$ 的长为； $C F$ 的长为．

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三、解答题（本大题7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$

(2)、 $2 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

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21. 嘉嘉在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 和一个小灯泡，当开关 $S_{1}$ 闭合时，再同时闭合开关 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 或 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 都可以使小灯泡发亮．

(1)、当开关 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 已经闭合时，再任意闭合开关 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 中的一个，小灯泡能亮起来的概率是；

(2)、当开关 $S_{1}$ 已经闭合时，再任意闭合开关 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．

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22. 如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE．

(1)、求证：△ABC∽△ADE．

(2)、若S_△A_BC：S_△A_DE=4：9，BC=6，求DE的长．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D = C B$ ， $A C$ ， $B D$ 相交于点E，过点C作 $C F / / B D$ ， $C F$ 与 $A B$ 的延长线相交于点F，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，求 $A D$ 的长．

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24. 某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天）
1
3
5
10
36
…
日销售量m（件）
94
90
86
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格 $y_{1}$ （元/件）与时间t（天）的函数关系式为 $y_{1} = \frac{1}{4} t + 25$ （ $1 \leq t \leq 20$ 且t为整数），后20天每天的价格 $y_{2}$ （元/件）与时间t（天）的函数关系式为 $y_{2} = - \frac{1}{2} t + 40$ （ $21 \leq t \leq 40$ 且为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

(1)、认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的表达式；

(2)、请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 $O A B C$ 是矩形，且 $O A = 8$ ， $O C = 6$ ， $C E ： B E = 1 ： 3$ ．反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点E、点F．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、连接 $E F$ 、 $O E$ 、 $O F$ ，求 $△ O E F$ 的面积；

(3)、是否存在x轴上的一点P，使得 $△ E F P$ 是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请直接写出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 如图1，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．
图1 图2 图3

(1)、求b和c的值；

(2)、已知点D是在第一象限内的抛物线上的一点，过点D作 $D E ⊥ x$ 轴于点E．
①如图2，点D是抛物线的顶点，点P是 $D E$ 上一点，若 $P A = P C$ ，求点P的坐标；
②如图3，若 $D E$ 与 $B C$ 交于点F，连接 $B D$ ，且 $S_{△ C O F} = 3 S_{△ B D F}$ ，求点D的坐标．

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时间t（天）	1	3	5	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	86	76	24	…