河北省石家庄市外国语教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

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一、选择题（本大题有16个小题，第1—10小题每小题3分，第11—16小题每小题2．分，共42分．在每小题给山的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 一元二次方程x²﹣4=0的解是（）

A、x=2 B、x₁= $\sqrt{2}$ ， x₂=﹣ $\sqrt{2}$ C、x=﹣2 D、x₁=2，x₂=﹣2

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2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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3. 从如图所示的扑克牌中任取一张，牌面数字是3的倍数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 下列各点在反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 图像上的是（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- 2 ， - 2)$ D、 $(- 4 ， - 1)$

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5. 某物体如图所示，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 二次函数 $y = (x - 3) (x + 5)$ 的图象的对称轴是（）

A、直线 $x = 3$ B、直线 $x = - 5$ C、直线 $x = - 1$ D、直线 $x = 1$

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7. 如图，在 $5 \times 5$ 正方形网格中，一条圆弧经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，那么点 $M$ 在这条圆弧所在圆的（）.

A、内部 B、外部 C、圆上 D、不能确定

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8. 如图，所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（）

A、第一象限 B、第一、三象限 C、第二、四象限 D、第一、四象限

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9. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（）

A、点D B、点E C、点F D、点G

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10. 石家庄博物馆五位小讲解员的年龄分别为13，14，14，12，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（）

A、方差 B、众数 C、中位数 D、平均数

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11. 如图，点B ， C ， D在 $⊙ O$ 上， $∠ B O C = 120 °$ ，点A是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，则 $∠ B D A$ 的度数是（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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12. 如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3cm，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（）

A、2.2m B、2m C、1.8m D、1.6m

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13. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）

A、黑球 B、黄球 C、红球 D、白球

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14. 已知二次函数 $y = {(x + 1)}^{2} - 4$ ，当 $| x | ≤ 2$ 时，则函数 $y$ 的最小值和最大值分别是（）

A、 $- 3$ 和5 B、 $- 4$ 和5 C、 $- 4$ 和 $- 3$ D、 $- 1$ 和5

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15. 因班级文化建设需要，小方需要在一张 $2 c m \times 24 c m$ 的矩形卡纸中裁剪出若干张半径为 $2 c m$ ，圆心角是 $30 °$ 的扇形纸片，若采取如图所示进行裁剪，则最多可以裁剪出扇形纸片（）

A、20张 B、21张 C、40张 D、41张

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16. $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，过点A作直线EF ，已知 $∠ B = ∠ E A C$ ，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与 $⊙ O$ 的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与 $⊙ O$ 相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与 $⊙ O$ 相切；
下列判断正确的是（）

A、甲对，乙不对 B、甲不对，乙对 C、甲乙都对 D、甲乙都不对

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二、填空题（本大题有3个小题，第17小题3分．第18-19小题，每小题4分，共11分）

17. 将二次函数 $y = x^{2} + 2 x$ 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是．

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18. 刘微是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ 是 $⊙ O$ 的内接正 $n$ 边形．已知 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ， $∠ A_{1} O A_{2}$ 的度数为 $α$ ，点 $O$ 到 $A_{1} A_{2}$ 的距离为 $d$ ， $△ A_{1} O A_{2}$ 的面积为 $S$ ．下面推断中，
①当 $n$ 变化时， $α$ 随 $n$ 的变化而变化， $α$ 与 $n$ 满足函数关系 $α = \frac{360 °}{n}$ ． ②无论n ， r为何值，总有 $n S = π r^{2}$ ． ③若 $n$ 为定值，当 $r$ 变化时， $S$ 随 $r$ 的变化而变化， $S$ 与 $r$ 满足二次函数关系．其中正确的是．（填序号）．

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19. 小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同．小强在地面立一块高度为 $0.4 m$ 的木板，以斜坡底端 $O$ 为坐标原点，地面水平线为 $x$ 轴，取单位长度为 $1 m$ ，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 3.36)$ ，第一次弹起的运行路线最高点坐标为 $(- 0.5 ， 3.61)$ ，第二次弹起的最大高度为 $1.21 m$ ．

(1)、求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是 $m$ ；

(2)、为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是 $m$ ．

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三、解答题（本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 已知关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + 18 x - m$ ．

(1)、若 $x^{2} + 18 x - m = 0$ 有两个相等的实数根，求 $m$ 的值；

(2)、嘉琪将其变形为 ${(x + 9)}^{2} + n$ 的形式，用含 $m$ 的式子表示 $n$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，以点 $D$ 为圆心， $B D$ 为半径作 $⊙ D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $⊙ D$ 与 $A C$ 相切；

(2)、若 $A C = 15$ ， $c o s ∠ A C B = \frac{3}{5}$ ，求 $⊙ D$ 的半径．

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22. 图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子， $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口 $A_{1}$ 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．

(1)、小球经过 $B_{2}$ 通道的概率是；

(2)、如果向 $A_{1}$ 放入一个同样的小球，小球落在三个小槽中的概率分别是多少？用列表或画树状图的方法进行说明．

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23. 如图1~图3，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 2$ ，动点 $P$ 从点 $E$ 出发，沿折线 $E B - B A - A D$ 以每秒1个单位长度的速度运动．作 $∠ P E Q = 90 °$ ， $E Q$ 交边 $A D$ 或边 $D C$ 于点 $Q$ ，连接 $P Q$ ．当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，点 $P$ 停止运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当点 $P$ 和点 $B$ 重合时，线段 $P Q$ 的长为；

(2)、如图2，当点 $Q$ 和点 $D$ 重合时，求 $t a n ∠ P Q E$ ；

(3)、如图3，当点 $P$ 在边 $A D$ 上运动时，直接写出 $△ P Q E$ 的形状和其外接圆半径的最小值．

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24. 生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中 $B C$ 段可以看成是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象的一段， $O D$ 为水面，矩形 $A O E B$ 为向上攀爬的梯子，每节梯子高 $0.6$ 米，宽1米．其中点A ， E ， D均在坐标轴上，且 $C D ⊥ x$ 轴．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求出口C点到 $B E$ 的距离 $C F$ 的长；

(3)、若滑梯 $B C$ 上有一个小球Q ，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到 $B E$ 的距离至少是多少米？

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25. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ ， $A B = 10 c m$ ，如图 $1$ 和图 $2$ 所示， $C D$ 为水面截线， $M N$ 为台面截线， $M N ∥ C D$ ，半圆 $O$ 与 $M N$ 相切于水槽最低点 $P$ ，如图 $1$ ，初始情况下 $A$ ， $C$ 重合，且 $C D = 8 c m$ ．
（参考数据： $s i n 53 ° = \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° = \frac{3}{4}$ ， $t a n 26.5 ° = \frac{1}{2}$ ）
计算：在图1中．

(1)、求圆心 $O$ 到水面 $C D$ 的距离；

(2)、求水槽最高 $B$ 和最低点 $P$ 之间的距离；

(3)、探究：将图 $1$ 中的水槽沿 $M N$ 向右作无滑动的滚动，当 $∠ B O P = 60 °$ 时停止滚动，如图 $2$ ．在图 $2$ 中画出此时的水面截线 $C D$ ，并求圆心 $O$ 移动的距离．

(4)、拓展：在图 $1$ 滚动至图 $2$ 的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (0 ， 1)$ ．点 $P$ ， $Q$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $m ， 2 m (m > 0)$ ，连接 $A P$ ， $A Q$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当点 $Q$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $m$ 的值．

(3)、当 $∠ P A Q$ 的边与 $x$ 轴平行时，求点 $P$ 与点 $Q$ 的纵坐标的差．

(4)、设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{1}$ ，在点 $A$ 与点 $Q$ 之间部分（包括点 $A$ 和点 $Q$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{2}$ ．当 $h_{2} - h_{1} = m$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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