河北省沧州市吴桥县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

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一、选择题（本题共16小题，共42分．1—10小题各3分；11—16小题各2分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. sin60°=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若a，b，b，c是成比例线段，其中 $a = 4 ， c = 9$ ，则线段b的长为（）

A、2 B、4 C、6 D、15

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 7 = 0$ 的一次项系数是（）

A、1 B、2 C、 $- 2$ D、7

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4. 为了筹备班级初中毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）

A、平均数 B、方差 C、中位数 D、众数

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5. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $7 c m$ ，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $6.5 c m$ ，则直线 $l$ 和 $⊙ O$ 的公共点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无法确定

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6. 下列各点中，在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 图象上的是（）

A、 $（ - 1 ， - 8 ）$ B、 $（ - 2 ， 4 ）$ C、 $（ 1 ， 7 ）$ D、 $（ 8 ， - 1 ）$

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7. 已知某一元二次方程的两根为 $x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \times 3 \times 1}}{2 \times 3}$ ，则此方程可能是（）

A、 $3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ B、 $3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ C、 $3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ D、 $3 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

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8. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 位似，点O为位似中心，若 $△ A B C$ 的周长等于 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 周长的 $\frac{1}{4}$ ． $A O = 2$ ，则 $O A^{^{'}}$ 的长度为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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9. 一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（）分

A、86 B、88 C、90 D、92

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10. 如图，某圆弧形拱桥的跨度 $A B = 24$ 米，拱高 $C D = 8$ 米，则该拱桥的半径为（）

A、13米 B、18米 C、26米 D、30米

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11. 下列条件中，不能判定 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 相似的是（）

A、 $\frac{A B}{B^{'} C^{'}} = \frac{B C}{A^{'} C^{'}} = \frac{A C}{A^{'} B^{'}}$ B、 $∠ A = ∠ A^{'}$ ， $∠ B = ∠ C^{'}$ C、 $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{A^{'} C^{'}}$ ，且 $∠ B = ∠ A^{'}$ D、 $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}}$ ，且 $∠ B = ∠ C^{'}$

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12. 2023年是我国全面推进乡村振兴开局之年．为了解某县助推乡村振兴的投资收益情况，现对投资项目的收益进行统计，结果显示收益从2020年的1000万元，增加到2022年的1960万元，则该县平均每年的收益增长率为（）

A、 $10 %$ B、 $20 %$ C、 $30 %$ D、 $40 %$

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13. 桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示， $O M$ 是垂直于水平地面的支撑杆， $O M = 3$ 米， $A B$ 是杠杆， $A B = 6$ 米， $O A ： O B = 2 ： 1$ ．当点 $A$ 位于最高点时， $∠ A O M = 130 °$ ．此时，点 $A$ 到地面的距离为（    ）

图1   图2

A、 $x$ 米 B、5米 C、 $(3 + 4 s i n 40 °)$ 米 D、 $(3 + \frac{4}{s i n 40 °})$ 米

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， F$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上一点，且 $\overset{⌢}{B F} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接 $C F$ 并延长交 $A D$ 的延长线于点E，连接 $A C$ ，若 $∠ A B C = 105 °$ ， $∠ B A C = 25 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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15. 众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：
①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．所有合理推断的序号是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、②③④

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16. 如图所示，在x轴的正半轴上依次截取 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4} = A_{4} A_{5} ⋯ = A_{n - 1} A_{n}$ ，过 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} 、 A_{4} 、 A_{5} ⋯ A_{n}$ ，分别作x轴的垂线与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图像交于点 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3} 、 P_{4} 、 P_{5} ⋯ P_{n}$ ，并设 $△ O A_{1} P_{1} 、 △ A_{1} A_{2} P_{2} 、 △ A_{2} A_{3} P_{3} ⋯ △ A_{n - 1} A_{n} P_{n}$ 面积分别为 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3} ⋯ S_{n}$ ，按此作法进行下去， $S_{n}$ （n为正整数）的值为（）

A、 $\frac{4}{n}$ B、 $\frac{n}{2}$ C、 $\frac{1}{2 n}$ D、 $\frac{2}{n}$

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二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

17. 反比例函数 $y = \frac{a + 3}{x}$ 的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是．

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18. 小红要用纸板制作一个母线长为 $7 c m$ ，底面圆半径是 $6 c m$ 的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 $c m^{2}$ ．

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19. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ， $P D$ 与 $⊙ O$ 相切于点D，连接 $O E$ 并延长，交 $P D$ 于点P，则 $∠ P$ 的度数是．

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20. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若 $(x - 2) (m x + 4) = 0$ 是倍根方程，则 $m =$ ．

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三、解答题（本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ $\frac{12}{13}$

(1)、求BD的长；

(2)、求tanC的值.

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22. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 3 = 0$ ．

(1)、当 $k = 2$ 时，求一元二次方程的根；

(2)、求证：无论k取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(3)、已知 $x = 3$ 是方程 $x^{2} + k x - 3$ 的一个根，求方程的另一个根．

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23. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．

(1)、求证：△ABE∽△ECD；

(2)、若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．

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24. 某校九年级（1）班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中有效次数如下：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．体委将二人的测试成绩绘制成如下统计表．

平均数
众数
中位数
方差
甲
8
$m$
8
$0.4$
乙
$n$
9
$p$
$3.2$

(1)、 $n =$ ， $m =$ ， $p =$ ；

(2)、体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获胜），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，请你分别说明两位老师这样选择的理由；

(3)、乙同学再做一次引体向上，与之前的5组数据合在一起，发现乙同学6次引体向上成绩的中位数不变，那么第6次成绩的有效次数为．

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25. 如图，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于A、B两点，过点B作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为C，连接 $A C$ ，已知点A的坐标是 $(2 ， 3)$ ， $B C = 2$ ．

(1)、求反比例函数与一次函数的关系式．

(2)、根据图象，直接写出不符式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

(3)、点P为反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第一象限图象上的一点，若 $S_{△ P O C} = 2 S_{△ A B C}$ ，直接写出点P的坐标．

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26. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ，点O，E在边 $C D$ 上，且 $C E = 2 ， D O = 3$ ，以点O为圆心， $O E$ 为半径在其左侧作半圆O，分别交 $A D$ 于点G，交 $C D$ 的延长线于点F．

(1)、 $G D =$ ；

(2)、将半圆O绕点E逆时针旋转 $α (0 ° < a < 180 °)$ ，点O的对应点为 $O^{'}$ ，点F的对应点为 $F^{'}$ ．
①如图2，若M为半圆 $O^{'}$ 上一点，当点 $F^{'}$ 落在 $A D$ 边上时，求点M到线段 $B C$ 的最短距离；
②如图3，当半圆 $O^{'}$ 交 $B C$ 于P，R两点时，若 $P R = 5$ ，求此时半圆 $O^{'}$ 与正方形 $A B C D$ 重叠部分的面积；
③当半圆 $O^{'}$ 与正方形 $A B C D$ 的边相切时，设切点为N，直接写出 $t a n ∠ E D N$ 的值．

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	平均数	众数	中位数	方差
甲	8	$m$	8	$0.4$
乙	$n$	9	$p$	$3.2$