河北省石家庄市高邑县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. 掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（）

A、大于3的点数 B、小于3的点数 C、大于5的点数 D、小于5的点数

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2. 一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则反比例函数 $y = \frac{- 3 + a}{x}$ 的图象在（）

A、第一、三象限 B、第二、四象限 C、第二、三象限 D、第一、四象限

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5. 若点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(1 ， y_{2})$ ， $(2 ， y_{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k < 0)$ 的图象上，则下列结论中正确的是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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6. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）

A、50° B、80° C、100° D、130°

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7. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、4 C、4 $\sqrt{2}$ D、8

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 78 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ．将 $△ A B C$ 沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（）

A、①②③ B、③④ C、①②③④ D、①②④

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9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）

A、(2，5) B、( $\frac{5}{2}$ ，5) C、(3，5) D、(3，6)

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10. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D在 $A C$ 上， $∠ D B C = ∠ A$ ．若 $A C = 4 ， c o s A = \frac{4}{5}$ ，则 $B D$ 的长度为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $4$

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11. 如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为 $6 \sqrt{2}$ 米，则斜坡AB的长度为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{5}$ D、24

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12. 如图，用一个圆心角为 $θ$ 的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为 $8 π$ 的圆锥体，则该扇形的圆心角 $θ$ 得大小为（）

A、90° B、120° C、150° D、180°

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13. 如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形， $⊙ O$ 的半径是R，它的外切正六边形的边长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} R}{3}$ B、 $\sqrt{3} R$ C、 $2 \sqrt{3} R$ D、 $6 R$

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14. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于6的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{16}$

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15. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）

A、14 B、11 C、10 D、9

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16. 对于题目“抛物线l₁： $y = - (x - 1)^{2} + 4$ （﹣1＜x≤2）与直线l₂：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（）

A、只有甲的结果正确 B、只有乙的结果正确 C、甲、乙的结果合起来才正确 D、甲、乙的结果合起来也不正确

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二、填空题

17. 已知点P是线段 $A B$ 上的黄金分割点，且 $A B = 2$ ， $A P > B P$ ，则 $A P =$ ．

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18. 一座抛物线形拱桥如图所示，桥下水面宽度为4m时，拱顶距离水面是2m，当水位下降1m后，水面的宽度为m．（结果保留根号）

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19. 曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的 $\overset{}{\overset{⏜}{O A}}$ （O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到 $\overset{⌢}{A A_{1}}$ ；再将 $\overset{⌢}{A A_{1}}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转180°，得到 $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}$ ；……依次类推，形成曲线L ，现有一点P从O点出发，以每秒 $π$ 个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为；在第2020s时，点P的坐标为．

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三、解答题

20. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k﹣1）x+k²+k﹣1=0有实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若此方程的两实数根x₁ ， x₂满足x₁²+x₂²=11，求k的值．

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21. 消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂 $A C$ （20米 $\leq A C \leq$ 30米）是可伸缩的，且起重臂 $A C$ 可绕点A在一定范围内上下转动张角 $∠ C A E (90 ° ≤ ∠ C A E ≤ 150 °)$ ，转动点A距离地面的高度 $A E$ 为4米．

(1)、当起重臂 $A C$ 的长度为24米，张角 $∠ C A E = 120 °$ 时，云梯消防车最高点C距离地面的高度 $C F$ 的长为米．

(2)、某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）（提示：当起重臂 $A C$ 伸到最长且张角 $∠ C A E$ 最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）

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22. 有甲、乙、丙三张完全相同的卡片，小明在其正面各写上一个方程，如图，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．

(1)、从中随机抽取一张，求抽到方程没有实数根的概率；

(2)、从中随机抽取一张，记下方程后放回，再随机抽取一张，请用列表或面树状图的方法，求抽到的方程都有实数根的概率．

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23. 如图，点 $P$ 的坐标是 $(3 ， 2)$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $y$ 轴于点A ，交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）于点 $N$ ，作 $P M ⊥ A N$ 交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）于点 $M$ ，连接 $A M$ ．已知 $P N = 4$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求 $△ A P M$ 的面积．

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $O D$ 为 $⊙ O$ 的半径， $⊙ O$ 的弦 $C D$ 与 $A B$ 相交于点F， $⊙ O$ 的切线 $C E$ 交 $A B$ 的延长线于点E， $E F = E C$ .

(1)、求证： $O D$ 垂直平分 $A B$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径长为3，且 $B F = B E$ ，求 $O F$ 的长.

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25. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系 $y = - 2 x + 160$ ，

(1)、该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？

(2)、当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 3 x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，并且与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、直接写出直线 $B C$ 的解析式为；

(3)、若点 $M$ 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为 $t$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $B C$ 于点 $N$ ，设 $M N$ 的长为 $h$ ，求 $h$ 与 $t$ 之间的函数关系式及 $h$ 的最大值；

(4)、在 $x$ 轴的负半轴上是否存在点 $P$ ，使以 $B$ ， $C$ ， $P$ 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点 $P$ 的坐标；如果不存在，说明理由．

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