河北省石家庄市高邑县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列图形中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 根据分式的基本性质，分式 $\frac{- a}{a - b}$ 可变形为（）

A、 $\frac{a}{a - b}$ B、 $\frac{a}{a + b}$ C、 $\frac{a}{- a - b}$ D、 $\frac{a}{b - a}$

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3. 要使式子 $\frac{\sqrt{m + 1}}{m - 1}$ 有意义，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > - 1$ B、 $m \geq - 1$ C、 $m > - 1$ 且 $m \neq 1$ D、 $m \geq - 1$ 且 $m \neq 1$

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4. 下列七个实数： $0$ ， $\sqrt{8}$ ， $\frac{22}{7}$ ， $\frac{π}{3}$ ， $\sqrt{16}$ ， $3.14159265$ ， $0.101001000100001 \dots$ ，其中无理数的个数是（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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5. 关于 $\sqrt{8}$ 的叙述正确的是（）

A、在数轴上不存在表示 $\sqrt{8}$ 的点 B、 $\sqrt{8} = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8} = \pm \sqrt{2}$ D、与 $\sqrt{8}$ 最接近的整数是3

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6. 与 $\sqrt{3^{2} - 2^{2} - 1^{2}}$ 结果相同的是（）

A、 $3 - 2 + 1$ B、 $3 + 2 - 1$ C、 $3 + 2 + 1$ D、 $3 - 2 - 1$

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7. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 $1$ ： $4$ ，则这个等腰三角形的底角的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $30 °$ 或 $120 °$ C、 $80 °$ D、 $30 °$ 或 $80 °$

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8. 如图，若x为正整数，则表示1- $\frac{1}{x + 1}$ 的值的点落在（）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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9. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A、三边长之比为 $3$ ： $4$ ： $5$ B、三内角之比为 $3$ ： $4$ ： $5$ C、三内角之比为 $1$ ： $2$ ： $3$ D、三边长的平方之比为 $1$ ： $2$ ： $3$

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10. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m x}{x - 3} - 2 = \frac{2 m}{x - 3}$ 无解，则 $m$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $0$ 或 $2$ D、无法确定

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11. 数轴上表示 $1$ ， $\sqrt{2}$ 的对应点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $B$ 关于点 $A$ 的对称点为 $C$ ，则点 $C$ 所表示的数是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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12. 如图， $∠ A C B = ∠ D B C$ ，若只添加一个条件，不能使得 $△ A B C$ 与 $△ D C B$ 全等的是（）

A、 $A C = D B$ B、 $A B = D C$ C、 $∠ A = ∠ D$ D、 $∠ A B C = ∠ D C B$

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13. 如图，点 $I$ 是 $△ A B C$ 三条角平分线的交点， $△ A B I$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ A C I$ 的面积记为 $S_{2}$ ， $△ B C I$ 的面积记为 $S_{3}$ ，关于 $S_{1} + S_{2}$ 与 $S_{3}$ 的大小关系，正确的是（）

A、 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ B、 $S_{1} + S_{2} < S_{3}$ C、 $S_{1} + S_{2} > S_{3}$ D、无法确定

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14. 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 1 m$ ，将它往前推 $6 m$ 至 $C$ 处时 $（$ 即水平距离 $C D = 6 m ）$ ，踏板离地的垂直高度 $C F = 4 m$ ，它的绳索始终拉直，则绳索 $A C$ 的长是（）

A、 $\frac{21}{2} m$ B、 $\frac{15}{2} m$ C、 $6 m$ D、 $\frac{9}{2} m$

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ， $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C$ ， $A B$ 边于 $E$ ， $F$ 点，若点 $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $M$ 为线段 $E F$ 上一动点，当 $△ C D M$ 周长取得最小值为 $13$ 时， $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $30$ B、 $39$ C、 $60$ D、 $78$

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16. 如图：点 $C$ 在 $A B$ 上， $△ D A C$ 、 $△ E B C$ 均是等边三角形， $A E$ 、 $B D$ 分别与 $C D$ 、 $C E$ 交于点 $M$ ， $N$ ，则下列结论 $① A E = D B$ ， $② C M = C N$ ， $③ △ C M N$ 为等边三角形， $④ M N / / B C .$ 正确的有个．（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题：本题共3小题，共10分。

17. 已知：最简二次根式 $\sqrt{4 a + b}$ 与 $\sqrt[a - b]{23}$ 的被开方数相同，则 $a + b =$ ．

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18. 如图，从一个大正方形中裁去面积为 $8 c m^{2}$ 和 $18 c m^{2}$ 的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 $c m^{2}$ ．

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19. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 ° ， A B = \sqrt{2}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为直线 $B C$ ， $A C$ 上的动点，过点 $A$ 作 $A D / / B C$ ，且 $A D = A B$ ．

(1)、 $A M$ 的最小值为；

(2)、 $A M + D M$ 的最小值为．

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三、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.

(1)、计算 $（ \sqrt{2} - \sqrt{3} ）^{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{3}} \times 3 \sqrt{2}$ ；

(2)、解方程： $\frac{2 + x}{2 - x} + \frac{16}{x^{2} - 4} = - 1$ ．

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21. 先化简再求值： $\frac{2 x^{2} + 2}{x^{2} - 2 x + 1} \div （ x - 1 + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} ）$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．

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22. 小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千 $.$ 如图，小明坐在秋千上的起始位置 $A$ 处，起始位置 $O A$ 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 $1.2$ 米高的 $B$ 处接住他，然后用力一推，爸爸在 $C$ 处接住他 $.$ 若妈妈与爸爸到秋千起始位置 $O A$ 的水平距离 $B F = 1.8$ 米， $C G = 2.2$ 米，且 $∠ B O C = 90 °$ ，求爸爸接住小明的位置 $C$ 距地面的高度．

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23. 同学们在学习完 $《$ 轴对称 $》$ 一节时，发现长方形 $A B C D$ 是轴对称图形，但是沿着 $B D$ 所在直线翻折，却不能重合 $（$ 如图 $）$ ，所以得出结论： $B D$ 所在的直线不是它的对称轴 $.$ 聪明的嘉琪想想说：如果 $A B = 3$ ， $B C = 4$ 就能求 $A E$ 的长 $.$ 请你也试着做做．

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24. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 是 $B C$ 上的一点且 $C E = 3$ ，连接 $D E$ ，动点 $M$ 从点 $A$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿 $A B - B C - C D - D A$ 向终点 $A$ 运动，设点 $M$ 的运动时间为 $t$ 秒，当 $△ A B M$ 和 $△ D C E$ 全等时，求 $t$ 的值．

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25. 为了改善我县的交通现状，县政府决定扩建某段公路，甲、乙两工程队承包该段公路的修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 $1.5$ 倍；若由甲队先修建 $90$ 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 $30$ 天完成．

(1)、求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)、已知甲队每天的施工费用为 $40$ 万元，乙队每天的施工费用为 $52$ 万元，工程预算的施工费用为 $6000$ 万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？

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26. 如图，点O是等边 $△ A B C$ 内一点， $∠ A O B = 110 °$ ， $∠ B O C = α$ ．将 $△ B O C$ 绕点C按顺时针方向旋转60°得 $△ A D C$ ，连接OD．

(1)、求证： $△ C O D$ 是等边三角形；

(2)、当 $α = 150 °$ 时，试判断 $△ A O D$ 的形状，并说明理由；

(3)、探究：当 $α$ 为多少度时， $△ A O D$ 是等腰三角形？

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