湖南省衡阳市城区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 要使二次根式 $\sqrt{3 x - 9}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x < 3$ D、 $x \leq 3$

查看试题解析
2. 已知实数 $a$ 在数轴上的对应点位置如图，则化简 $| a - 1 | - \sqrt{(a - 2)^{2}}$ 的结果是（）

A、 $2 a - 3$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $3 - 2 a$

查看试题解析
3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 3) x^{2} + m^{2} x = 9 x + 5$ 化为一般形式后不含一次项，则 $m$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $\pm 3$ C、 $3$ D、 $- 3$

查看试题解析
4. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，如果将 $△ A B C$ 沿 $y$ 轴翻折，得到 $△ A' B' C'$ ，那么点 $B$ 的对应点 $B'$ 的坐标为（）

A、 $(0，2)$ B、 $(3，1)$ C、 $(1，4)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

查看试题解析
5. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $10$ C、 $11$ D、 $13$

查看试题解析
6. 如图，若 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，则下列各式错误的是（）

A、 $\frac{B C}{A C} = \frac{E F}{D F}$ B、 $\frac{A B}{A C} = \frac{D E}{D F}$ C、 $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{B E}$

查看试题解析
7.
如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（　　）

A、0.5km B、0.6km C、0.9km D、1.2km

查看试题解析
8. 小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为 $10 %$ ，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（）

A、小亮明天的进球率为 $10 %$ B、小亮明天每射球10次必进球1次 C、小亮明天有可能进球 D、小亮明天肯定进球

查看试题解析
9. 如图，一艘潜水艇在海面下 $300$ 米的点 $A$ 处发现其正前方的海底 $C$ 处有黑匣子，同时测得黑匣子 $C$ 的俯角为 $30 °$ ，潜水艇继续在同一深度直线航行 $960$ 米到点 $B$ 处，测得黑匣子 $C$ 的俯角为 $60 °$ ，则黑匣子所在的 $C$ 处距离海面的深度是（）

A、 $(480 \sqrt{3} + 300)$ 米 B、 $(960 \sqrt{3} + 300)$ 米 C、 $780$ 米 D、 $1260$ 米

查看试题解析
10. 如图，能使 $△ A B C$ ∽ $△ A E D$ 成立的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ A$ B、 $∠ A D E = ∠ A E D$ C、 $\frac{A C}{A D} = \frac{A B}{A E}$ D、 $\frac{B C}{E D} = \frac{A D}{A C}$

查看试题解析
11. 如图，四边形 $A B C D$ 和 $A' B' C' D'$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，若 $O A' ： O A = 3 ： 5$ ，四边形 $A' B' C' D'$ 的面积为9 $c m^{2}$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、15 $c m^{2}$ B、25 $c m^{2}$ C、18 $c m^{2}$ D、27 $c m^{2}$

查看试题解析
12. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知 $x$ 可取任何实数，试求二次三项式 $2 x^{2} - 12 x + 14$ 的值的范围．
解： $2 x^{2} - 12 x + 14 = 2 (x^{2} - 6 x) + 14 = 2 (x^{2} - 6 x + 3^{2} - 3^{2}) + 14$
$= 2 [(x - 3)^{2} - 9] + 14 = 2 (x - 3)^{2} - 18 + 14 = 2 (x - 3)^{2} - 4$ ．
$∵$ 无论 $x$ 取何实数，总有 $(x - 3)^{2} \geq 0$ ， $∴ 2 (x - 3)^{2} - 4 \geq - 4$ ．
即无论 $x$ 取何实数， $2 x^{2} - 12 x + 14$ 的值总是不小于 $- 4$ 的实数．
问题：已知 $x$ 可取任何实数，则二次三项式 $- 3 x^{2} + 12 x - 11$ 的最值情况是（）

A、有最大值 $- 1$ B、有最小值 $- 1$ C、有最大值 $1$ D、有最小值 $1$

查看试题解析

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13. 若最简二次根式 $\sqrt{x + 2} 和 \sqrt{3 - x}$ 是同类二次根式，则 $x$ 的值为．

查看试题解析
14. 一元二次方程 $3 (x - 2)^{2} = x (x - 2)$ 的解为．

查看试题解析
15. 已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $B D$ 的中点，已知 $A B = 12$ ， $C D = 6$ ，则 $E F =$ ．

查看试题解析
17. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．

查看试题解析
18. “健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的 $R t △ A B C$ ，其中 $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 与 $B C$ 间另有步道 $D E$ 相连， $D$ 地在 $A B$ 正中位置， $E$ 地与 $C$ 地相距 $1 k m .$ 若 $t a n ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ， $∠ D E B = 45 °$ ，小张某天沿 $A \to C \to E \to B \to D \to A$ 路线跑一圈，则他跑了 $k m$ ．

查看试题解析

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. 计算：

(1)、 $3 \sqrt{12} - 2 \sqrt{48} + \sqrt{8}$ ；

(2)、 $(\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27}) \times \sqrt{3}$ ．

查看试题解析
20. 解方程： $x^{2} - 6 x - 18 = 0.2$ ．

查看试题解析
21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 边上一点， $∠ D B C = ∠ A$ ．

(1)、求证： $△ B D C ∽ △ A B C$ ；

(2)、若 $B C = 4$ ， $A C = 8$ ，求 $C D$ 的长．

查看试题解析
22. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.

(1)、成绩为“B等级”的学生人数有名；

(2)、在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；

(3)、学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

查看试题解析
23. 某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款台灯每个成本为40元，

(1)、若每个台灯降x元( $x > 0$ ),则每星期能卖出个台灯，每个台灯的利润是元．

(2)、在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？

查看试题解析
24. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算 $t a n 15 °$ 时，可构造如图 $1$ 所示的图形 $.$ 在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，设 $A C = x (x > 0)$ ，延长 $C B$ 至点 $D$ ，使得 $B D = A B$ ，连结 $A D$ ，易知 $∠ D = 15 °$ ， $C D = B D + B C = A B + B C = 2 x + \sqrt{3} x$ ，所以 $t a n 15 ° = t a n D = \dots$

任务：

(1)、请根据上面的步骤，完成 $t a n 15 °$ 的计算；

(2)、请类比这种方法，计算图 $2$ 中 $t a n 22.5 °$ 的值．

查看试题解析
25.

(1)、问题背景：如图 $(1)$ ，已知 $△ A B C$ ∽ $△ A D E$ ，求证： $△ A B D$ ∽ $△ A C E$ ；

(2)、尝试应用：如图 $(2)$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $∠ A B C = ∠ A D E = 30 °$ ， $A C$ 与 $D E$ 相交于点 $F .$ 点 $D$ 在 $B C$ 边上， $\frac{A D}{B D} = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{D F}{C F}$ 的值．

查看试题解析
26. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 5$ ， $P$ 是射线 $B C$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $P E ⊥ A P$ ，交射线 $D C$ 于点 $E$ ，射线 $A E$ 交射线 $B C$ 于点 $F$ ，设 $B P = a$ ．

(1)、当点 $P$ 在线段 $B C$ 上时 $($ 点 $P$ 与点 $B$ ， $C$ 都不重合 $)$ ，试用含 $a$ 的代数式表示 $C E$ ；

(2)、当 $a = 3$ 时，连接 $D F$ ，试判断四边形 $A P F D$ 的形状，并说明理由；

(3)、当 $t a n ∠ P A E = \frac{1}{2}$ 时，求 $a$ 的值．

查看试题解析