湖南重点大学附中2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 我国古代数学家祖冲之推算出 $π$ 的近似值为 $\frac{355}{113}$ ，它与 $π$ 的误差小于 $0.0000003 .$ 将 $0.0000003$ 用科学记数法可以表示为（）

A、 $0.3 \times 10^{- 6}$ B、 $3 \times 10^{- 6}$ C、 $3 \times 10^{- 7}$ D、 $3 \times 10^{7}$

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2. 下列三个分式 $\frac{1}{2 x^{2}}$ ， $\frac{5 x - 1}{4 (m - n)}$ ， $\frac{3}{x}$ 的最简公分母是（）

A、 $4 x (m - n)$ B、 $2 x^{2} (m - n)$ C、 $\frac{1}{4 x^{2} (m - n)}$ D、 $4 x^{2} (m - n)$

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3. 下列式子中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{8 a}$ D、 $\sqrt{0.3}$

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4. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} \neq 0$ ，则 $\frac{a + b}{a - 2 b}$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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5. 化简 $\sqrt{54} \times \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{12}$ 的结果是( ).

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 如图，点 $C$ 所表示的数是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $1 - \sqrt{5}$ D、 $- \sqrt{5}$

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7. 若 $\sqrt{(x - 3)^{2}} = 3 - x$ 成立，则 $x$ 满足得条件（）

A、 $x \geq 3$ B、 $x \leq 3$ C、 $x > 3$ D、 $x < 3$

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8. 已知命题； $①$ 若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ； $②$ 若 $a \neq 2$ ，则 $(a - 2)^{0} = 1$ ； $③$ 两个全等的三角形的面积相等； $④$ 三条边对应相等的两个三角形全等 $.$ 上述命题的逆命题为真命题的个数是（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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9. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 1} + 1 = \frac{m}{1 - x}$ 的解为非负数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 1$ 且 $m \neq - 1$ B、 $m \geq - 1$ 且 $m \neq 1$
C、 $m < 1$ 且 $m \neq - 1$ D、 $m > - 1$ 且 $m \neq 1$

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10. 已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $8$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $6$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 在实数范围内分解因式： $3 a^{2} - 18 =$ ．

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12. 已知 $5^{x} = 3$ ， $5^{y} = 2$ ，则 $5^{2 x - 3 y} =$ ．

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13. 若 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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14. 若 $2 m - n = 3$ ，则 $4 - 4 m + 2 n =$ ．

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15. 如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端 $6 m$ 处，发现此时绳子底端距离打结处 $2 m$ ，则旗杆的高度为 $m .$

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16. “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形 $A B C D$ 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的 $.$ 若 $A B = \sqrt{5}$ ， $∠ C E D = ∠ C D E$ ，则 $△ C D E$ 的面积为．

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三、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算： $(- \frac{1}{3})^{- 2} + \sqrt{(\sqrt{2} - 2)^{2}} + \sqrt{8} - (π - 2024)^{0}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(1 + \frac{4}{x - 3}) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 6}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 2$ ．

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19. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值．

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20. 已知： $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ ．

(1)、求 $x + y$ 的值．

(2)、求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2$ 的值．

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21. 如图，公路 $M N$ 和公路 $P Q$ 在点 $P$ 处交汇，且 $∠ Q P N = 30 °$ ，在 $A$ 处有一所中学， $A P = 120$ 米，此时有一辆消防车在公路 $M N$ 上沿 $P N$ 方向以每秒 $8$ 米的速度行驶，假设消防车行驶时周围 $100$ 米以内有噪音影响．

(1)、学校是否会受到影响？请说明理由．

(2)、如果受到影响，则影响时间是多长？

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22. 有两款售价相同的汽车，信息如下表所示：

燃油车	新能源汽车
油箱容积： $50$ 升	电池容量： $80$ 千瓦时
油价： $7.2$ 元 $/$ 升	电价： $0.6$ 元 $/$ 千瓦时
续航里程： $a$ 千米	续航里程： $a$ 千米
每千米行驶费用： $\frac{50 \times 7.2}{a}$ 元	每千米行驶费用：____元

(1)、新能源车的每千米行驶费用是元；

(

用含

a

的代数式表示

)

(2)、若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多

0.52

元．

①

分别求出这两款车的每千米行驶费用；

②

若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为

4600

元和

7200

元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？

(

年费用

=

年行驶费用

+

年其它费用

)

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $A E$ 平分 $∠ C A B$ 交 $C B$ 于点 $E$ ， $A D = 3$ ， $B D = \frac{16}{3}$ ， $C D = 4$ ．

(1)、求证： $∠ A C B = 90 °$ ；

(2)、求点 $E$ 到 $A B$ 边的距离．

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24. 压轴题

(1)、已知 $x$ ， $y$ ， $z$ 为 $△ A B C$ 的三边长，且有 $(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^{2} = 3 (\sqrt{x y} + \sqrt{x z} + \sqrt{y z}) .$ 试判断 $△ A B C$ 的形状并加以证明．

(2)、已知 $x$ ， $y$ 满足 $x y + 3 y - x - 10 = 0$ ，且 $x$ ， $y$ 都是整数，求 $x$ 的值．

(3)、在平面直角坐标系中，已知点 $A (0，3)$ ， $B (- 4，0)$ ，在 $y$ 轴上求一点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 是等腰三角形，求 $C$ 点的坐标 $. ($ 画图，在图上标出坐标 $)$

(4)、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ， $∠ A B C = 135 °$ ， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $B C = 1$ ，在 $A D$ 、 $C D$ 上分别找一点 $E$ 、 $F$ ，使得 $△ B E F$ 的周长最小，求 $△ B E F$ 周长的最小值．

(5)、我们定义：如果两个多项式 $M$ 与 $N$ 的和为常数，则称 $M$ 与 $N$ 互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值” $.$ 如 $M = 2 x^{2} - x + 6$ 与 $N = - 2 x^{2} + x - 1$ 互为“对消多项式”，它们的“对消值”为 $5 .$ 已知关于 $x$ 的多项式 $C = m x^{2} + 8 x + 2$ 与 $D = - m (x + 1) (x + n)$ 互为“对消多项式”，“对消值”为 $t .$ 若 $a - b = m$ ， $b - c = m n$ ，求代数式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c + 2 t$ 的最小值．

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