2023年吉林省中考数学真题变式题：第二十六题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、原题重现

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (0 ， 1)$ ．点 $P$ ， $Q$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $m ， 2 m (m > 0)$ ，连接 $A P$ ， $A Q$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当点 $Q$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $m$ 的值．

(3)、当 $∠ P A Q$ 的边与 $x$ 轴平行时，求点 $P$ 与点 $Q$ 的纵坐标的差．

(4)、设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{1}$ ，在点 $A$ 与点 $Q$ 之间部分（包括点 $A$ 和点 $Q$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{2}$ ．当 $h_{2} - h_{1} = m$ 时，直接写出 $m$ 的值．

查看试题解析

二、变式基础练

2. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 3$ ，抛物线与x轴交于 $A (- 2 ， 0) 、 B$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $B C$ ，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P ，使 $△ P B C$ 的面积最大？最大面积是多少？

查看试题解析

三、变式提升练

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ )的图象经过点A(-1，0)，B(0，3)，顶点的横坐标为1.

(1)、求二次函数的表达式.

(2)、若直线x=m与x轴相交于点N，在第一象限内与二次函数的图象相交于点M，当m取何值时，AN+MN有最大值？求出这个最大值.

(3)、若P为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的对称轴上一动点，将二次函数的图象向左平移1个单位后，Q为平移后二次函数的图象上一动点.在(2)的条件下求得的点M，是否能与点A，P，Q构成平行四边形?若能构成，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.

查看试题解析
4. 一次函数y $= \frac{3}{4}$ x的图象与二次函数y＝ax²﹣4ax+c（a≠0）的图象交于A ， B两点（点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ，设二次函数图象的顶点为 D ．

(1)、求点C的坐标；

(2)、若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的解析式；

(3)、若CD＝AC ，且△ACD的面积等于10，请直接写出满足条件的点D的坐标．

查看试题解析
5. 如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)、设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $S_{△ P A B} = 6$ 的点P？如果存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在 $x$ 轴正半轴上，顶点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 2 \sqrt{3}) ， D$ 是边OC上的动点，过点 $D$ 作 $D E ⊥$ OB交边OA于点 $E$ ，作 $D F / / O B$ 交边BC于点 $F$ ，连结EF，设 $O D = x ， △ D E F$ 的面积为 $S$ .

(1)、求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式.

(2)、当 $x$ 取何值时， $S$ 的值最大？请求出最大值.

查看试题解析
7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，与此同时，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动．如果点 $P ， Q$ 分别从点 $A ， B$ 同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时，两点停止运动，设运动时间为ts．

(1)、 $B P =$ $c m$ ， $B Q =$ $c m$ （用t的代数式表示）

(2)、经过多长时间， $△ P B Q$ 的面积等于 $8 c m^{2}$ ？

(3)、当移动时间 $t =$ ▲ s时，四边形 $A P Q C$ 的面积最小？

查看试题解析
8. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + c$ （ $a$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点.

(1)、请用含 $a$ 的代数式表示 $c$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时，
①若抛物线的最小值为 $- 18$ ，求 $C$ 点的坐标；
②已知 $D$ 点在抛物线上，若 $∠ A D B = 90 °$ ，直接写出 $a$ 的取值范围；

查看试题解析

四、变式培优练

9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为点 $B$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式．

(2)、点 $D$ 为直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $B C$ ， $C D$ ，设直线 $B D$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ ， $△ C D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

查看试题解析
10. 如图 $1 ($ 注：与图 $2$ 完全相同 $)$ ，二次函数 $y = \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (3,0)$ ， $B (- 1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、设该抛物线的顶点为 $D$ ，求 $△ A C D$ 的面积 $($ 请在图 $1$ 中探索 $)$ ；

(3)、若点 $P$ ， $Q$ 同时从 $A$ 点出发，都以每秒 $1$ 个单位长度的速度分别沿 $A B$ ， $A C$ 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 $P$ ， $Q$ 运动到 $t$ 秒时， $△ A P Q$ 沿 $P Q$ 所在的直线翻折，点 $A$ 恰好落在抛物线上 $E$ 点处，请直接判定此时四边形 $A P E Q$ 的形状，并求出 $E$ 点坐标 $($ 请在图 $2$ 中探索 $)$ ．

查看试题解析
11. 如图，已知抛物线 $y = \frac{\sqrt{2}}{8} (x + 2) (x - 4)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B ($ 点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $C D / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ， $M$ 为抛物线的顶点．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标；

(2)、设动点 $N (- 2, n)$ ，求使 $M N + B N$ 的值最小时 $n$ 的值；

(3)、 $P$ 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点 $P$ ，使以 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 为顶点的三角形与 $△ A B D$ 相似 $(△ P A B$ 与 $△ A B D$ 不重合 $)$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

查看试题解析
12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．点 $P$ 是线段 $B C$ 下方抛物线上的一个动点（不与点 $B ， C$ 重合），过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $B C$ 于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ ．

(1)、求该抛物线的解析式．

(2)、过点 $C$ 作 $C H ⊥ P N$ 于点 $H$ ，且 $B N = 3 C H$ ．
①求点 $P$ 的坐标．
②连接 $C P$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ C P Q$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
13. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b$ 与 $x$ 轴交于A、B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标是 $(0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点 $P$ 是第四象限内抛物线上一点，连接PB交 $y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，线段CE的长为 $d$ ，求 $d$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、如图3，点 $D$ 是第三象限内抛物线上一点，连接PD交 $y$ 轴于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B P$ 于点 $H$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接AD交BP于点 $N$ ，连接MN，若 $E F = \frac{d}{2}$ ， $∠ B N D = ∠ A N M$ 时，求点 $P$ 的坐标．

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 的图象与一次函数 $y = - 2 x + b$ 的图象交于点 $A (1 ， 0)$ 和点B，点B为二次函数图象的顶点。

(1)、求二次函数和一次函数的解析式；

(2)、结合图象直接写出不等式 $a x^{2} + 2 a x + c > - 2 x + b$ 的解集；

(3)、点M为二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 图象上的一个动点，且点M的横坐标为m，将点M向右平移1个单位长度得到点N．若线段 $M N$ 与一次函数图象有交点，直接写出点M横坐标m的取值范围。

查看试题解析
15. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．

(1)、直接写出b，c的值；

(2)、如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D．若PA＝PD，求m的值；

(3)、过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．

查看试题解析
16. 如图，直线 $y = - x + 4$ 与x轴交于点C ，与y轴交于点B ，抛物线 $y = a x^{2} + x + c$ 经过B ， C两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点E是线BC上方抛物线上的一动点，当其到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；

(3)、点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P ， Q ， B ， C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析