2023年吉林省中考数学真题变式题：第二十五题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，动点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 以 $1 c m / s$ 的速度沿边 $A B$ 向终点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 以 $2 c m / s$ 的速度沿折线 $B C - C D$ 向终点 $D$ 匀速运动．连接 $P O$ 并延长交边 $C D$ 于点 $M$ ，连接 $Q O$ 并延长交折线 $D A - A B$ 于点 $N$ ，连接 $P Q$ ， $Q M$ ， $M N$ ， $N P$ ，得到四边形 $P Q M N$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $x$ （ $s$ ）（ $0 < x < 4$ ），四边形 $P Q M N$ 的面积为 $y$ （ $c m^{2}$ ）
　　

(1)、 $B P$ 的长为 $c m$ ， $C M$ 的长为 $c m$ ．（用含x的代数式表示）

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

(3)、当四边形 $P Q M N$ 是轴对称图形时，直接写出 $x$ 的值．

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二、变式基础练

2. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．

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3. 如图，在正方形 ABCD中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE=DF，连结 AE和BF.求证：AE=BF.

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4. 在平面直角坐标系中， $A ， P$ 分别是 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴上的点， $B$ 是线段 $O A$ 上一点，连接 $P B$ ．

(1)、如图1， $C A ⊥ x$ 轴于点 $A ， B C ⊥ P B ， D$ 是 $O P$ 上一点，且 $∠ B D O = ∠ P B O$ ；
①求证： $∠ D B O = ∠ C B A$ ；
②若 $O P = O A$ ，求证： $B D + B C = B P$ ；

(2)、如图2， $A (5 ， 0) ， B (2 ， 0) ， G$ 是 $P B$ 的中点，连接 $A G ， M$ 是 $x$ 轴负半轴上一点， $P M = 2 A G$ ，当点 $P$ 在 $y$ 轴正半轴上运动时，点 $M$ 的坐标是否会发生变化，若不变，求点 $M$ 的坐标，若改变，求出其变化的范围．

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5. 已知：如图，E，F是正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的两点，且 $C F = A E$ ．求证：四边形 $D E B F$ 是菱形．

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $D A$ 、 $B C$ 延长线上，且 $A E = C F .$ 求证：四边形 $E B F D$ 为平行四边形．

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三、变式提升练

7. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = C F$ .

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；

(2)、连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，若 $B D = 10$ ， $A E + C F = E F$ ，求 $E G$ 的长.

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8. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 内一点，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转至 $△ A B F$ ，点E的对应点为点F ．

(1)、若 $∠ A D E = 35 °$ ， $∠ D A E = 50 °$ ，求 $∠ A F B$ 的度数．

(2)、连接 $E F$ ，若 $A E = 2$ ，求线段 $E F$ 的长．

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，求阴影部分的面积（结果保留 $π$ ）

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10. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数 $y_{1} = \frac{m}{x}$ 与 $y_{2} = \frac{n}{x} (x > 0，0 < m < n)$ 的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.

(1)、当m=4，n=20时，
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式.
②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

(2)、四边形ABCD能否为正方形?若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由.

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11. 如图，点 $M$ ， $N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ M A N = 45 °$ ，把 $△ A D N$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A E M$ ≌ $△ A N M$ ．

(2)、若 $B M = 3$ ， $D N = 2$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长．

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12.

(1)、解方程： $x (x - 2) = 3$ .

(2)、如图：在正方形ABCD中，点E、F在AC上，且 $A F = C E$ ，求证：四边形BEDF是菱形.

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13. 某小区院内有一块边长为 $(3 a + b)$ 米的正方形地 $(a > 0 ， b > 0)$ ，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）.中间部分将修建一个长为 $(2 a + b)$ 米，宽为 $(a + b)$ 米的长方形景点.

(1)、用含a、b的式子表示绿化的面积；

(2)、求出当 $a = 3$ ， $b = 2$ 时的绿化面积.

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB ， D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E ，垂足为F ，连接CD、BE ．

(1)、求证：CE＝AD；

(2)、当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)、若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

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四、变式培优练

15. 在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ ， $F$ 是 $B C$ 上的两点，连接 $O E$ ，分别过点 $B$ ， $F$ 作 $O E$ 的垂线 $B H$ ， $F M$ ，垂足分别为 $H$ ， $M$ .

(1)、若 $∠ C O E = 22.5 °$ ，求证： $△ O B H ≌ △ E B H$ ；

(2)、若 $O H = F M$ ，求证： $F E = C E$ ；

(3)、若 $F$ 是 $B C$ 的中点，则线段 $B H$ ， $O H$ ， $F M$ 之间存在一定的数量关系，请直接写出来.

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16. 在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上， $B F = F E = A G$ ，且 $A G \leq \frac{1}{2} A B$ 、GF、DE的延长线相交于点P．

(1)、如图1，当点E与点C重合时， $∠ P$ 的度数＝；

(2)、如图2，当点E与C不重合时，在点G的运动过程中， $∠ P$ 的度数是否发生变化，若不变，求出 $∠ P$ 的度数，若变化，请说明理由

(3)、在（2）的条件下，如图3，过D作 $D N ⊥ G P$ 于点N，连接CN．BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求 $\frac{M N}{N C}$ 的值（直接写出结果即可）．

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17. 如图，直线 $y = - x + 4$ 与坐标轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，以 $O A$ 为边在 $y$ 轴的右侧作正方形 $A O B C$ ．

(1)、求点 $A$ ， $B$ 的坐标；

(2)、如图，点 $D$ 是 $x$ 轴上一动点，点 $E$ 在 $A D$ 的右侧， $∠ A D E = 90 °$ ， $A D = D E$ ．
$①$ 探究发现，点 $E$ 在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式_▲_ ；
$②$ 若点 $D$ 是线段 $O B$ 的中点，另一动点 $H$ 在直线 $B E$ 上，且 $∠ H A C = ∠ B A D$ ，请求出点 $H$ 的坐标．

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18. 矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB ，将△ABC沿AB折叠得△ABE ， AE交y轴于点D ，线段OD、OA的长是方程x²－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD．

(1)、请直接写出点A的坐标为，点D的坐标为；

(2)、点P为直线AB上一点，连接PO、PD ，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；

(3)、点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q ，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形?若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 为直径，点D为 $⊙ O$ 上一点，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点G， $A E ⊥ C D$ 于点F交 $⊙ O$ 于点E．

(1)、求证： $∠ F A G = ∠ F C A$ ；

(2)、如图2，连接 $B F 、 B E$ ，若 $B F = B E$ ，求证： $D G = F G$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3，点H是 $C D$ 上一点，连接 $E H$ ， $∠ F E H = \frac{1}{2} ∠ A B C ， B C - F H = 4 D G$ ，若 $S_{△ B C F} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求线段 $B F$ 的长．

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