2023年吉林省中考数学真题变式题：第十七题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、原题重现

1. 如图，点C在线段 $B D$ 上，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A = ∠ D ， A B = D E ， ∠ B = ∠ E$ ．
求证： $A C = D C$ ．

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二、变式基础练

2. 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（）

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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3. 线段 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $E$ ， $∠ D = ∠ A$ ， $D E = A E$ ，求证： $∠ C = ∠ B$ ．

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4. 如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足BE=DF.连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H.求证：EG=FH.

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5. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.

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6. 如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ ， $A B = A D$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $A D$ 与 $B C$ 交于点 $P$ ，点 $C$ 在 $D E$ 上．求证： $B C = D E$ ；

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ ， $F$ 为直线 $A D$ 上的点，连接 $B E$ ， $C F$ ，且 $B E ∥ C F$ ．

(1)、求证： $△ B D E ≌ △ C D F$ ；

(2)、若 $A E = 13$ ， $A F = 7$ ，试求 $D E$ 的长．

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三、变式提升练

8. 根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（）

A、 $E A = E D$ B、 $D E ⊥ A B$ C、 $A F ∥ D E$ D、 $A E = A F$

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9. 如图， $△ A B C$ 的面积为 $7 c m^{2} ， B P$ 平分 $∠ A B C ， A P ⊥ B P$ 于点P，连结 $P C$ ，则 $△ P B C$ 的面积为（）

A、 $3 c m^{2}$ B、 $3.5 c m^{2}$ C、 $4 c m^{2}$ D、 $5 c m^{2}$

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10. 如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝．

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11. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ， AB=AC ， E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD ， ∠EAD=∠BAC.

(1)、试说明：AE=AD；

(2)、若BD=8，DC=5，求ED的长.

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12. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ，分别以点B，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．

(1)、求证： $C D = C E$ ：

(2)、在 $▱ A B C D$ 中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．

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13. 如图，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．

(1)、当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由；

(2)、点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，并说明理由；

(3)、点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，
请直接写出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．

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四、变式培优练

14. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点， $∠ G D H = 90 °$ ， $∠ G D H$ 绕点D旋转， $D G ， D H$ 分别与边 $A C$ ， $B C$ 交于E，F两点，下列结论：① $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ；② $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ；③ $S_{四边形 C E D F} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$ ；④ $Δ D E F$ 始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）

A、①②④ B、①②③ C、③④ D、①②③④

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $P$ 为 $A C$ 上一点，点 $M$ 为 $B C$ 上一点，线段 $A M$ ， $B P$ 交于点 $E$ ．

(1)、若 $B P$ 为 $△ A B C$ 的角平分线．
①如图，已知 $A M ⊥ B C$ ，求证： $A E = A P$ ；
②如图 $2$ ，已知 $A M ⊥ B P$ ，求证： $A P = P M$ ；

(2)、如图，若 $B P$ 为 $△ A B C$ 的中线，且 $A M ⊥ B P$ ，试探究 $B P$ ， $A M$ ， $M P$ 三条线段的数量关系是.

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16.

(1)、如图1， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $l$ 经过点 $A$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $D$ ， $E$ ，求证： $△ C A E ≌ △ A B D$ ．

(2)、在（1）的条件下，猜想：线段 $A B$ ， $B D$ ， $A D$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图2，在平面直角坐标系中， $A (3 ， 0)$ ，点 $P (0 ， y_{P})$ 是 $y$ 轴正半轴上的一个动点，以 $A P$ 为直角边作等腰直角 $△ A P D$ ，点 $B (x_{B} ， y_{B})$ 在第二象限内，且 $∠ A P B = 90 °$ ，在点 $P$ 的运动过程中， $y_{P} - y_{B}$ 的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由．

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17. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 交坐标轴于A、B两点，过点 $C (- 4 ， 0)$ 作 $C D$ 交 $A B$ 于D ，交y轴于点E ．且 $△ C O E ≌ △ B O A$ ．

(1)、求B点坐标为；线段 $O A$ 的长为；

(2)、确定直线 $C D$ 解析式，求出点D坐标；

(3)、如图2，点M是线段 $C E$ 上一动点（不与点C、E重合）， $O N ⊥ O M$ 交 $A B$ 于点N ，连接 $M N$ ．
①点M移动过程中，线段 $O M$ 与 $O N$ 数量关系是否不变，直接写出结论；
②当 $△ O M N$ 面积最小时，求点M的坐标和 $△ O M N$ 面积．

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