备考2024年中考数学核心素养专题二十三函数的综合问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（）

A、x＝1 B、x＝-1 C、x＝3 D、x＝-3

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2. 如图，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与 $y = \frac{2}{3} x + 4$ 在第二象限交于点 $A$ ， $y = \frac{2}{3} x + 4$ 交 $x$ 轴， $y$ 轴分别于 $B$ 、 $C$ 两点， $S_{Δ A B O} ： S_{Δ A C O} = 1 ： 2$ ，则方程组 ${\begin{matrix} k x - y = 0 \\ 2 x - 3 y + 12 = 0 \end{matrix}$ 的解为（）

A、 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = \frac{2}{3} \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{2} \\ y = 1 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = - 4 \\ y = \frac{4}{3} \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{4} \\ y = \frac{2}{3} \end{matrix}$

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3. 如图，直线 $y = k x + b$ 交 $x$ 轴于点 $A (- 2 ， 0)$ ，直线 $y = m x + n$ 交 $x$ 轴于点 $B (4 ， 0)$ ，这两条直线相交于点 $C (1 ， p)$ ，则不等式组 ${\begin{array}{l} k x + b < 0 \\ m x + n > 0 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $x < 4$ B、 $x < - 2$ C、 $- 2 < x < 4$ D、 $- 2 < x < 1$

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4. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点 $A ， B$ 在 $y$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过 $A D$ 边的中点 $E$ 和点 $C$ ，若 $A B = 2 ， B C = 4$ ，则 $k$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 如图， $R t △ A O B$ 的直角顶点在坐标原点 $O$ 上，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B$ 在反比例函数 $y = - \frac{1}{x} (x < 0)$ 的图象上，则 $t a n ∠ A$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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6. 如图所示的是三个反比例函数y= $\frac{k_{1}}{x}$ ， y= $\frac{k_{2}}{x}$ ， y= $\frac{k_{3}}{x}$ 在x轴上方的图象，由此观察得到k₁ ， k₂ ， k₃的大小关系是（）

A、k₁>k₂>k₃ B、k₃>k₂>k₁ C、k₂>k₃>k₁ D、k₃>k₁>k₂

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7. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝ $\frac{1}{2}$ ，有下列结论：①abc＞0；
②关于x的方程ax²+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜﹣ $\frac{1}{2}$ ．
其中，正确结论的个数是（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 已知二次函数 $y = a (x + 1) (x - m) (a$ 为非零常数， $1 < m < 2)$ ，当 $x < - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则下列结论正确的是（）
$①$ 若 $x > 2$ 时，则 $y$ 随 $x$ 的增大而减小； $②$ 若图象经过点 $(0，1)$ ，则 $- 1 < a < 0$ ； $③$ 若 $(- 2023 ， y_{1})$ ， $(2023 ， y_{2})$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ； $④$ 若图象上两点 $(\frac{1}{4} ， y_{1})$ ， $(\frac{1}{4} + n ， y_{2})$ 对一切正数 $n .$ 总有 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $\frac{3}{2} < m < 2$ ．

A、 $① ②$ B、 $① ③$ C、 $① ④$ D、 $③ ④$

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9. 如图，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与抛物线 $y = x^{2} - 2 x + c$ 交于A ， B两点，且点A的横坐标是－1，点B的横坐标是4，有以下结论：①若点A在 $x$ 轴上，则抛物线 $y = x^{2} - 2 x + c$ 与 $x$ 轴的另一个交点坐标为（3，0）；②当 $x > 1$ 时，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与二次函数 $y = x^{2} - 2 x + c$ 的函数值 $y$ 都随 $x$ 的增大而增大；③ $A B$ 的长度可以等于5，其中正确的结论有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点坐标为 $(- 1 ， n)$ ，其部分图象如图所示，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $9 a + 3 b + c < 0$ ③若点 $M (- \frac{3}{2} ， y_{1})$ ，点 $N (\frac{1}{2} ， y_{2})$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 1$ 无实数根；其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系内，一次函数 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与 $y = k_{2} x + b_{2} (k_{1} ， b_{1} ， k_{2} ， b_{2}$ 为常数 $)$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的不等式 $k_{1} x + b_{1} \geq k_{2} x + b_{2}$ 的解集为．

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12. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ （ $x < 0$ ）图象上一点， $A C ⊥ x$ 轴于点 $C$ 且与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象交于点B ， $A B = 4 B C$ ，连接 $O A$ ， $O B$ ，若 $△ O A B$ 的面积为8，则 $k_{1} + k_{2} =$ ．

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13. 如图，抛物线y＝ax²+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y₁）、B（1，y₂）两点，则关于x的不等式ax²+c≥﹣kx+m的解集是．

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14. 如图，抛物线y=ax²+5ax+4与x轴交于C，D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD，BC.若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a=.

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15. 在平面直角坐标系中，点 $P (a ， b)$ ，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当 $a < b$ 时， $Q (a ， - b)$ ，当 $a \geq b$ 时， $Q (a + 1 ， b - 5)$ ，线段 $m ： y = - x + 2 (- 2 \leq x \leq 6)$ 按上述“变换点”组成新图形，直线 $y = 2 k x + 1$ 与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围．

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16. 如图，将一把矩形直尺 $A B C D$ 和一块含 $30 °$ 角的三角板 $E F G$ 摆放在平面直角坐标系中， $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $G$ 与点 $A$ 重合，点 $F$ 在 $A D$ 上，三角板的直角边 $E F$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点 $F$ ， $M .$ 若直尺的宽 $C D = 2$ ，三角板的斜边 $F G = 6 \sqrt{3}$ ，则 $k =$ ．

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三、解答题

17. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．

(1)、求这两个函数的解析式；

(2)、求△ADC的面积；

(3)、根据图象直接写出不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集.

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18. 小宇在学习过程中遇到了一个函数 $y = |x| + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ ．
下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：

(1)、对于函数 $y_{1} = \frac{1}{x}$ ，当 $x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而减小，
对于函数 $y_{2} = |x|$ ，当 $x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大
而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而；

(2)、当 $x > 0$ 时，对于函数 $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

$x$

$\dots$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$1$

$\frac{3}{2}$

$2$

$\frac{5}{2}$

$\dots$

$y$

$\dots$

$\frac{17}{4}$

$\frac{5}{2}$

$2$

$\frac{13}{6}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{29}{10}$

$\dots$
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出当 $x > 0$ 时函数 $y$ 的图象．

(3)、过点 $(0 ， m)$ 作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合 $(1) (2)$ 的分析，解决问题：
若直线 $l$ 与函数 $y = |x| + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的图象有两个交点，则 $m =$ ．

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19. 如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A ，且与l关于直线x＝﹣1对称．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求图中阴影部分的面积；

(3)、已知直线l：y＝x+4与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点另一点B ， P在平面内，若以点A ， B ， P ， O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．

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20. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m + 2$ （ $m$ 是常数）．

(1)、求证：该抛物线的顶点在函数 $y = - x^{2} + x + 2$ 的图象上；

(2)、若点 $B (2 ， a) ， C (5 ， b)$ 在该抛物线上，且 $a > b$ ，求 $m$ 的取值范围．

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21. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标.

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四、综合题

22. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (m ， 4)$ ， $B (2 ， n)$ 两点．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、根据图象直接写出使 $k x + b < \frac{4}{x}$ 成立的 $x$ 的取值范围；

(3)、求 $△ A O B$ 得面积．

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23. 如图，反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象与一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图象交于第二象限的点 $A$ 、点 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，点 $B$ 的到 $y$ 轴的距离为 $2$ ．

(1)、试确定反比例函数的关系式；

(2)、请用无刻度的直尺和圆规作出点 $O$ 关于直线 $y = k_{2} x + b$ 的对称点 $O^{'}$ （要求：不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、点 $O$ ， $A$ ， $B$ 与（2）中的点 $O^{'}$ ，组成四边形 $O A O^{'} B$ ．求证：四边形 $O A O^{'} B$ 是菱形。

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24. 如图，正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq x)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点， $A$ 的横坐标为 $- 4$ ， $B$ 的纵坐标为 $- 6$ ．

(1)、求反比例函数的表达式．

(2)、观察图象，直接写出不等式 $k x < \frac{m}{x}$ 的解集．

(3)、将直线 $A B$ 向上平移 $n$ 个单位，交双曲线于 $C$ 、 $D$ 两点，交坐标轴于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $O D$ 、 $B D$ ，若 $△ O B D$ 的面积为 $20$ ，求直线 $C D$ 的表达式．

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25. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k＜0）的图象交于第二、四象限内的A ， B两点，与x轴交于C点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D ， OD＝3， $\frac{A D}{O D} = \frac{4}{3}$ ，点B的坐标为（c ， ﹣2）．

(1)、求该反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、根据图象直接写出使ax+b＜ $\frac{k}{x}$ 成立的x的取值范围；

(3)、形如x²﹣a＞0（a为常数，a＞0）的解集为：x＞ $\sqrt{a}$ 或x＜﹣ $\sqrt{a}$ ，过点M（6，0）作垂直于x轴的直线MN ，直线y＝x+n与双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ （k＜0）交于点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂），与直线MN交于点R（x₃ ， y₃），若y₁＜y₂＜y₃时，求n的取值范围．

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26. 如图①， $∠ M O N = 90 °$ ，反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 和 $y = \frac{k}{x}$ （ $k ＜ 0 ， x ＜ 0$ ）的图像分别是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ．射线 $O M$ 交 $l_{1}$ 于点 $A （ 1 ， a ）$ ，射线 $O N$ 交 $l_{2}$ 于点 $B$ ，连接 $A B$ 交y轴于点P ， $A B ∥ x$ 轴．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、如图②，将 $∠ M O N$ 绕点O旋转，射线 $O M$ 始终在第一象限，交 $l_{1}$ 于点 $C$ ，射线 $O N$ 交 $l_{2}$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ 交y轴于点 $Q$ ，在旋转的过程中， $∠ O C D$ 的大小是否发生变化？若不变化，求出 $t a n ∠ O C D$ 的值；若变化，请说明理由；

(3)、在（2）的旋转过程中，当点 $Q$ 为 $C D$ 中点时， $C D$ 所在的直线与 $l_{1}$ 的有几个公共点，求出公共点的坐标．

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27. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，已知经过点 $A$ ， $B$ 的直线的表达式为 $y = x + 3$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式及其顶点 $C$ 的坐标；

(2)、如图 $①$ ，点 $P (m, 0)$ 是线段 $A O$ 上的一个动点，其中 $- 3 < m < 0$ ，作直线 $D P ⊥ x$ 轴，交直线 $A B$ 于 $D$ ，交抛物线于 $E$ ，作 $E F / / x$ 轴，交直线 $A B$ 于点 $F$ ，四边形 $D E F G$ 为矩形．设矩形 $D E F G$ 的周长为 $L$ ，写出 $L$ 与 $m$ 的函数关系式，并求 $m$ 为何值时周长 $L$ 最大；

(3)、如图 $②$ ，在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使点 $A$ ， $B$ ， $Q$ 构成的三角形是以 $A B$ 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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28. 已知抛物线 $y = {(x - t)}^{2} + t - 5$ ，其中 $t$ 是实数．

(1)、已知三个点 $(1，0) ， (1 ， - 4) ， (2 ， - 7)$ ，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；

(2)、在（1）的条件下，抛物线与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点（点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点的记为 $G$ ，
①若点 $D$ 在点 $B ， C$ 之间的抛物线上运动（不与点 $B ， C$ 重合），连接 $O D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $C D$ ．记 $△ C D E ， △ C O E$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；
②过点 $G$ 的直线 $l$ 与抛物线的另一个交点为 $P$ ，直线 $l$ 与直线 $l^{'} ： y = - \frac{17}{4}$ 交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $l^{'}$ 的垂线，交抛物线于点 $Q$ ，过 $P Q$ 的中点 $M$ 作 $M N ⊥ l^{'}$ 于点 $N$ ．求证： $M N = \frac{1}{2} P Q$ ．

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五、实践探究题

29. 阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为： $d = \frac{| A x_{0} + B x_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ .

例如：求点P₀（0，0）到直线4x+3y-3=0的距离.

解：由直线4x+3y-3=0知，A=4，B=3，C=-3，

∴点P₀（0，0）到直线4x+3y-3=0的距离为 $d = \frac{| 4 \times 0 + 3 \times 0 - 3 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}$

根据以上材料，解决下列问题：

(1)、问题1：点P₁（3，4）到直线 $y = - \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$ 的距离为；

(2)、问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线 $y = - \frac{3}{4} x + b$ b相切，求实数b的值；

(3)、问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S_△ABP的最大值和最小值.

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30. 【探究函数 $y = x + \frac{4}{x}$ 的图象与性质】

(1)、函数 $y = x + \frac{4}{x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是；

(2)、下列四个函数图象中函数 $y = x + \frac{4}{x}$ 的图象大致是（）；

A、 B、 C、 D、

(3)、对于函数 $y = x + \frac{4}{x}$ ，求当 $x$ ＞0时， $y$ 的取值范围.
请将下列的求解过程补充完整.

解：∵ $x$ ＞0

∴ $y = x + \frac{4}{x} = {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{2} = {(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{2} +$

∵ ${(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{2} \geq 0$

∴ $y$ ≥

(4)、【拓展运用】
若函数 $y = \frac{x^{2} - 5 x + 9}{x}$ ，则 $y$ 的取值范围.

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31. 某班“数学兴趣小组”对函数 $y = - x^{2} + 2 | x | + 1$ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x
…
﹣3
﹣ $\frac{5}{2}$
﹣2
﹣1
0
1
2
$\frac{5}{2}$
3
…
y
…
﹣2
﹣ $\frac{1}{4}$
m
2
1
2
1
﹣ $\frac{1}{4}$
﹣2
…

(1)、自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如上：其中m＝．

(2)、根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点连线，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

(3)、观察函数图象，写出一条函数的性质．

(4)、进一步探究函数图象发现：
①方程 $- x^{2} + 2 | x | + 1 = 0$ 有个实数根；
②关于x的方程 $- x^{2} + 2 | x | + 1 = a$ 有4个实数根时，a的取值范围是．

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$x$	$\dots$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{17}{4}$	$\frac{5}{2}$	$2$	$\frac{13}{6}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{29}{10}$	$\dots$

x	…	﹣3	﹣ $\frac{5}{2}$	﹣2	﹣1	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	…
y	…	﹣2	﹣ $\frac{1}{4}$	m	2	1	2	1	﹣ $\frac{1}{4}$	﹣2	…

备考2024年中考数学核心素养专题二十三 函数的综合问题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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