备考2024年中考数学核心素养专题二十二圆的综合问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = 4$ ， D是 $A C$ 边上一动点，连接 $B D$ ，以 $A D$ 为直径的圆交 $B D$ 于点E ，则 $C E$ 长的最小值是（）

A、2 B、 $5 - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5} - 2$ D、3

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2. 如图，点P是 $⊙ O$ 外的一点，PA、PC是 $⊙ O$ 的切线，切点分别为A，C，AB是 $⊙ O$ 的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（）

A、 $P O ∥ B C$ B、 $P D = 2 O D$ C、若 $∠ A B C = 2 ∠ C P O$ ，则△PAC是等边三角形 D、若△PAC是等边三角形，则 $∠ A B C = 2 ∠ C P O$

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3. 如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点 E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD²＝OD•CE；所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①④ C、②③ D、①②④

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4. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{D B}$ ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，在 $⊙ A$ 中，弦BC，ED所对的圆心角分别是 $∠ B A C ， ∠ E A D$ ， $∠ B A C$ 与 $∠ E A D$ 互补，已知 $B C = 8 ， D E = 6$ .当 $B C / / D E$ 时，弦BC与DE之间的距离等于（）.

A、7 B、1或7 C、 $\frac{\sqrt{41} + \sqrt{34}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{41} + \sqrt{34}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{41} - \sqrt{34}}{2}$

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6. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B = 10$ ， $D E$ 是弦， $A B ⊥ D E$ ， $\overset{⌢}{C E B} = \overset{⌢}{E B D}$ ， $s i n ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ， $A D$ 的延长线与 $C B$ 的延长线相交于点 $F$ ， $D B$ 的延长线与 $O E$ 的延长线相交于点 $G$ ，连接 $C G$ ．下列结论中正确的个数是（）
① $∠ D B F = 3 ∠ D A B$ ；

② $C G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

③B，E两点间的距离是 $\sqrt{10}$ ；

④ $D F = \frac{11 \sqrt{10}}{9}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = C D$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点C，连接 $A C$ 、 $O D$ 交于点 $E$ .连接 $B D$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，若 $B C = 1$ ， $A C = 2$ ，则以下结论：① $O D ∥ B C$ ；② $A D$ 为 $⊙ O$ 的切线；③ $∠ D E F = 45 °$ ；④ $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；则正确的结论个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如题图所示，已知一个半径为2的 $⊙ O$ ， P为平面内一个点，过点P作 $⊙ O$ 的两条切线 $P C$ ， $P D$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的一条直径，且 $A B ∥ C P$ ，连接若干条线段的端点．若 $t a n ∠ O D A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，下列给出的四个命题中，为假命题的是（）

A、 $S_{△ C G B} = 2 \sqrt{3} - 2$ B、 $△ B O D$ 为正三角形 C、 $∠ C A O + ∠ O P C = 2 ∠ B D P$ D、 $C P = 2 \sqrt{3} + 2$

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9. 如图，点A、B分别在x轴、y轴上（ $O A > O B$ ）；以 $A B$ 为直径的圆经过原点O，C是 $\overset{⌢}{A O B}$ 的中点，连结 $A C$ ， $B C$ ．下列结论：① $∠ A C B = 90 °$ ；② $A C = B C$ ；③若 $O A = 4$ ， $O B = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于5；④若 $O A - O B = 4$ ，则点C的坐标是 $(2 ， - 2)$ ，其中正确的结论有（　　）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 如图，点E是 $△ A B C$ 的内心，连接AE并延长交BC于点F，交 $△ A B C$ 的外接圆于点D，连接BD．以下结论：①AE平分 $∠ B A C$ ；② $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{D C}$ ；③ $∠ D B C = ∠ B A D$ ；④ $B D = D E$ ；⑤ $D E^{2} = D F \cdot D A$ ，其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 如图，圆内接四边形 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A D C$ ，过点 $B$ 作 $B E ∥ C D$ 交 $D A$ 的延长线于点 $E$ ，若 $A D = 2$ ， $D C = 3$ ，则 $△ B D E$ 的面积为．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点.以AE为直径的圆О与BC相切于点D，连结AD，BE= $3 \sqrt{5}$ ， BD=3.5.P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为.

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13. 如图所示， $P$ 为矩形 $A B C D$ 中 $A D$ 边上的一点，已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，若点 $M$ 在矩形 $A B C D$ 内部，且 $∠ D M C = 120 °$ ，则 $B P + P M$ 的最小值为．

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14. $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4$ ， E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作 $⊙ O$ ，连接ED交 $⊙ O$ 于F，连接FM，MN，则 $F M + M N$ 的最小值为.

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15. 如图， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若 $A B = 2$ ，下面四个结论中，
①该圆的半径为2； ② $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $\frac{π}{2}$ ；
③ $A C$ 平分 $∠ B A D$ ； ④连接 $B C$ ， $C D$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A C D$ 的面积比为 $1 ： \sqrt{3}$ ．
所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $A C$ 是最短边．以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ ，交 $B C$ 于D ，过O作 $O E ∥ B C$ ，交 $⊙ O$ 于E ，连接 $A D$ 、 $A E$ 、 $C E$ ．

(1)、求证： $∠ A C E = ∠ D C E$ ；

(2)、若 $∠ B = 45 °$ ， $∠ B A E = 15 °$ ，求 $∠ E A O$ 的度

(3)、若 $A C = 1$ ， $\frac{S_{△ C D F}}{S_{△ C O E}} = \frac{2}{3}$ ，求 $C F$ 的长．

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17. 如图：四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于 $H$ ，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $∠ C E D = ∠ B A C$ ．

(1)、判断 $D E$ 与圆 $O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $D E ∥ A C$ ，求证： $D$ 为弧 $A C$ 的中点；

(3)、在（2）的条件下，若 $D C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求劣弧 $A C$ 的长度．

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18. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A E ⊥ B C$ 于点F ．

(1)、如图1，求证： $∠ A D C - ∠ B A E = 90 °$ ；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点D作 $D H ⊥ B C$ 于点H ，求证： $B H = H C + A B$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $D E$ 交 $F C$ 于点G ，若 $A B = 10$ ， $A F = 8 H C$ ，求 $E G$ 的长．

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19. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ，以AB为直径的 $⊙ O$ 与AC交于点 $D$ ，点 $E$ 是BC的中点，连结BD，DE

(1)、求证：DE是 $⊙ O$ 的切线.

(2)、若 $D E = 2 ， t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ，求AD的长

(3)、在（2）的条件下，点P是 $⊙ O$ 上一动点，求PA＋PB的最大值.

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20. 如图1，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E ，且CE＝8，DE＝2．

(1)、求AB的长．

(2)、探究拓展：如图2，连接AC ，点G是 $\hat{B C}$ 上一动点，连接AG ，延长CG交AB的延长线于点F ．
①当点G是 $\hat{B C}$ 的中点时，求证：∠GAF＝∠F；
②如图3，连接DF ， BG ，当△CDF为等腰三角形时，请计算BG的长．

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21. 如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE// BD，交CD的延长线于点E，AB=AM.

(1)、求证：△ABM∽△ECA.

(2)、当CM=4OM时，求AD的长.

(3)、当CM= kOM时，设△MCD的面积为S₁ ， △ADE的面积为S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值（用含k的代数式表示）.

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22. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.

(1)、如图1，四边形 $A B C D$ 为等邻边圆内接四边形， $A D = C D$ ， $∠ A D C = 60 °$ ，直接写出 $∠ A B D$ 的度数；

(2)、如图2，四边形 $A D B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，若四边形 $A D B C$ 为等邻边圆内接四边形， $A D = B D$ ，求 $C D$ 的长.

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 为等邻边圆内接四边形， $B C = C D$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 48$ .设 $B C = x$ ，四边形 $A B C D$ 的周长为 $y$ ，试确定 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并求出 $y$ 的最大值.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O$ 和图形 $W$ ，将图形 $W$ 关于直线 $l$ 对称得到图形 $W^{'}$ ， $P$ 为 $W^{'}$ 上任意一点， $Q$ 为圆 $O$ 上任意一点，将 $P Q$ 的最大值称为图形 $W$ 关于 $l$ 的“对称长度”．

(1)、若圆 $O$ 半径为 $2$ ；
①在 $M_{1} (0 ， 2)$ ， $M_{2} (- 1 ， 0)$ ， $M_{3} (2 ， - 2)$ 这三个点中，关于直线 $x = 1$ 的“对称长度”为 $5$ ；
②已知直线 $l_{1}$ ： $y = 2$ ，点 $P_{1} (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{7}{2})$ ， $Q_{1} (\frac{\sqrt{3}}{2} ， 2)$ ， $P_{2} (0 ， 4)$ ， $Q_{2} (1 ， 4)$ ， $P_{3} (0 ， 5)$ ， $Q_{3} (- 1 ， 4)$ ，则在线段 $P_{1} Q_{1}$ ， $P_{2} Q_{2}$ ， $P_{3} Q_{3}$ 中，关于 $l_{1}$ 的“对称长度”为 $3$ 的是；

(2)、圆 $O$ 半径为 $1$ ，已知点 $A (- 1 ， 8)$ ， $B (1 ， 8)$ ， $C (1 ， 6)$ ， $D (- 1 ， 6)$ ， $P (0 ， 3)$ ， $∠ O P M = ∠ O P N = 45 °$ ，点 $M$ 在点 $N$ 的左侧，直线 $l$ 从 $P N$ 开始，绕点 $P$ 顺时针旋转到 $P M$ ，在 $l$ 旋转过程中，求正方形 $A B C D$ 关于 $l$ 的“对称长度” $d$ 的取值范围．

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24. 如图1， $△ A B C$ 内接于圆 $O ， A B$ 为直径，点 $C$ 在 $A B$ 的上方，且 $∠ C A B > ∠ B$ ．连结 $O C ， C G$ 是 $A B$ 边上的高，过点 $O$ 作 $D E ⊥ O C$ 交 $C G$ 的延长线于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ A C G = ∠ B C O$ ．

(2)、当 $O E = O D$ 时，求 $\frac{O G}{O C}$ 的值．

(3)、如图2，取 $B C$ 的中点 $Q$ ，连结 $O Q$ ．
①若 $A B = 10$ ，在点 $C$ 运动的过程中，当四边形 $C G O Q$ 的其中一边长是 $O Q$ 的2倍时，求所有满足条件的 $O G$ 的长．
②连结 $D B$ ，当 $△ C O Q$ 的面积是 $△ B O E$ 的面积的2倍时，则 $t a n ∠ O B D =$ ▲ （请直接写出答案）

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四、综合题

25. 如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交BC于D，过点D作DE⊥AC于E．

(1)、如图1，求证：∠DAB＝∠CDE；

(2)、如图1，若CD＝OA，AB＝6，求DE的长；

(3)、如图2，当∠DAC＝2∠DAB时，BD＝5，DC＝6，求r的值；

(4)、如图3，若AE＝AB＝BD＝1，直接写出AD＋DE的值（用含r的代数式表示）

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26. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 为直径，点D为 $⊙ O$ 上一点，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点G， $A E ⊥ C D$ 于点F交 $⊙ O$ 于点E．

(1)、求证： $∠ F A G = ∠ F C A$ ；

(2)、如图2，连接 $B F 、 B E$ ，若 $B F = B E$ ，求证： $D G = F G$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3，点H是 $C D$ 上一点，连接 $E H$ ， $∠ F E H = \frac{1}{2} ∠ A B C ， B C - F H = 4 D G$ ，若 $S_{△ B C F} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求线段 $B F$ 的长．

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27. 在 $⊙ O$ 中， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B$ 与直径 $C D$ 交于点 $H$ ， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ $．$

(1)、如图，求证： $A B ⊥ C D$ ．

(2)、如图，点 $P$ 在 $B A$ 延长线上， $P M$ 切 $⊙ O$ 于点 $E$ 交 $D C$ 延长线于 $M$ ，连接 $D E$ 交 $A B$ 于 $F$ ，求证： $P F = P E$ ．

(3)、如图，在 $(2)$ 的条件下，连接 $A E$ 和 $B D$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点 $W$ ，若 $B D ∥ P M ， D F = \sqrt{10}$ ， $A E = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$ ，求 $W D$ 的长．

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28. 已知在以点 $B$ 为原点、 $B D$ 所在直线为 $x$ 轴的平面直角坐标系中，圆内接四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于 $E$ ， $A C$ 经过 $△ A B D$ 的内心，且抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点．

(1)、求证： $A E \cdot E C = B E \cdot D E$ ；

(2)、求证： $A C^{2} = A B \cdot A D + C D^{2}$ ；

(3)、 $△ A B E$ 、 $△ D E C$ 、四边形 $A B C D$ 的面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 、S ，求同时满足以下三个条件的抛物线的解析式；
① $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$ ，
② $\sqrt{A C + B D} = \sqrt{B E} + \sqrt{D E}$ ，
③四边形 $A B C D$ 的周长为 $20 \sqrt{2}$ .

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五、实践探究题

29.

(1)、【感知】如图（1）已知四边形 $A B C D$ 是圆O的内接四边形， $A D = A B$ ，易知 $∠ D C A = ∠ A C B$ ．（不用证明）

(2)、【拓展】在【感知】的条件下， $B D$ 与 $A C$ 交于点E，已知 $A D = 4$ ， $A C = 10$ ，求 $A E$ 的长．

(3)、【应用】已知 $△ A B C$ 中 $A B = A C = 5$ ，点D为 $B C$ 中点，以 $A C$ 为斜边向上作等腰直角三角形，当 $A C$ 把 $△ A D E$ 的面积分为 $1 ： 2$ 两部分时， $D F =$ ．

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30. 如图1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，点P在半径OB上，连接AP ．

(1)、把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q ．
①当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长；
②如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C ，过点Q作QH⊥OA ，垂足为H ，
探究OH、AH、QC之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W ，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E ，弧AE与OA交于点F ，若OF＝2，求PO的长．

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备考2024年中考数学核心素养专题二十二 圆的综合问题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

备考2024年中考数学核心素养专题二十二圆的综合问题