备考2024年中考数学核心素养专题二十一几何图形的存在性问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的动点，且 $B E = D F$ ， $M$ ， $N$ 分别是边 $A D$ ，边 $B C$ 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 $M E N F$ ；
②存在无数个矩形 $M E N F$ ；
③存在无数个菱形 $M E N F$ ；
④存在无数个正方形 $M E N F$ ．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，一副三角板（ $∠ C = ∠ E = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ D = 45 °$ ）， $A D = B C$ ，顶点A重合，将 $△ A D E$ 绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线 $A B$ 分别交 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 于点 $A ， B$ ， $∠ M A B = 120 °$ ，以点B为圆心， $B A$ 长为半径画弧，若在弧上存在点C使 $∠ A C B = 20 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $75 °$ C、 $70 °$ D、 $60 °$

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4. 题目：“如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ， $B C = 15$ ， P，Q分别是 $B C ， C D$ 上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（）
甲：若 $C Q = 4$ ，则在BC上存在2个点P，使 $△ A B P$ 与 $△ P C Q$ 相似；
乙：若 $A P ⊥ P Q$ ，则 $C Q$ 的最大值为 $\frac{25}{4}$

A、甲对乙错 B、甲错乙对 C、甲、乙都对 D、甲、乙都错

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5. 如图所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，若要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足（）．

A、 $a \geq 2 b$ B、 $a \geq \frac{7}{2} b$ C、 $a \geq 4 b$ D、 $a \geq 5 b$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = 6$ ，点D、E分别是 $A B 、 A C$ 的中点．将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ ，射线 $B D$ 与射线 $C E$ 交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
① $△ A E C ≌ △ A D B$ ；② $C P$ 存在最大值为 $3 + 3 \sqrt{3}$ ；③ $B P$ 存在最小值为 $3 \sqrt{3} - 3$ ；④点P运动的路径长为 $2 \sqrt{2} π$ ．其中，正确的是（）

A、①③④ B、①②④ C、①②③ D、②③④

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B > B C$ ， E为 $A D$ 上一点（不含点A），O为 $B D$ 的中点，连接 $E O$ 并延长，交 $B C$ 于点F，点G为 $D C$ 上一点， $D G = A E$ ，连接 $E G$ ， $F G$ ．甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：存在点E，使 $E G ⊥ F G$ ；
乙： $△ E F G$ 的面积存在最小值．
下列说法正确的是（）

A、甲、乙都正确 B、甲、乙都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确

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8. 两块完全相同的含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板 $A B C$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 重合在一起，将三角板 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 绕直角顶点 $C$ 按逆时针方向旋转 $α (0^{\circ} < α ⩽ 90^{\circ})$ ，如图所示．以下结论错误的是（）

A、当 $α = 30^{\circ}$ 时， $A^{'} C$ 与 $A B$ 的交点恰好为 $A B$ 中点．
B、当 $α = 60^{\circ}$ 时， $A^{'} B^{'}$ 恰好经过点 $B$ ．
C、在旋转过程中，存在某一时刻，使得 $A A^{'} = B B^{'}$ ．
D、在旋转过程中，始终存在 $A A^{^{'}} ⊥ B B^{^{'}}$ ．

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9. 某兴趣小组开展综合实践活动：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C D = \sqrt{2} ， D$ 为 $A C$ 上一点，动点 $P$ 以每秒1个单位的速度从 $C$ 点出发，在三角形边上沿 $C \to B \to A$ 匀速运动，到达点 $A$ 时停止，以 $D P$ 为边作正方形 $D P E F$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ，正方形 $D P E F$ 的面积为 $S$ ，当点 $P$ 由点 $C$ 运动到点 $A$ 时，经探究发现 $S$ 是关于 $t$ 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3} (t_{1} < t_{2} < t_{3})$ 对应的正方形DPEF的面积均相等，当 $t_{3} = 5 t_{1}$ 时，则正方形 $D P E F$ 的面积为（）

A、3 B、 $\frac{34}{9}$ C、4 D、5

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在直线l上，以A为圆心， $O A$ 为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段 $O E$ ， $⊙ A$ 和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形 $A B C D$ 是矩形（点 $A ， B ， C ， D$ 顺时针排列），则称矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.若点 $A (3 ， 4)$ ，则直线 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 的“理想矩形”的面积为（）

A、12 B、 $3 \sqrt{14}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2， ∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE= DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.有下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.其中正确的是（填序号）.

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12. 已知 $⊙ O_{1}$ 的半径为 $1$ ， $⊙ O_{2}$ 的半径为 $r$ ，圆心距 $O_{1} O_{2} = 5$ ，如果在 $⊙ O_{2}$ 上存在一点 $P$ ，使得 $P O_{1} = 2$ ，则 $r$ 的取值范围是．

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13. 如题图所示，在 $△ A B C$ 中存在一面积为 $π$ 的内切圆，其圆心为点 $O$ ，连接 $A O$ ，若满足 $A B + A C = 2 a$ ， $B C = \frac{3}{2} a$ ， $t a n ∠ O A C = \frac{16}{a^{2}}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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14. 如图，在边长为 $4$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 边上，且 $B E = 1 .$ 点 $P$ 是 $A B$ 边上的动点，连接 $P E$ ，将线段 $P E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $E Q .$ 若在正方形内还存在一点 $M$ ，则点 $M$ 到点 $A$ 、点 $D$ 、点 $Q$ 的距离之和的最小值为．

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15. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝ $\sqrt{2}$ BC；②在函数y＝ $\frac{2019}{x}$ （x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）²-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是．

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为 $⊙ B$ 上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足 $C F = \frac{1}{2} C E$ ，连结BF.当点E与点D重合时，BF的值为.点E在 $⊙ B$ 上运动过程中，BF存在最大值为.

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三、解答题

18. 如图所示，已知在四边形ABCD中， $A D / / B C ， ∠ A = 9 0^{°} ， A B = 7 ， A D = 2$ ， $B C = 3$ .在线段AB上是否存在一点 $P$ ，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似?若存在，这样的点 $P$ 有几个?若不存在.请说明理由.

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19. 已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，且对任意实数x，都有 $4 x - 12 \leq a x^{2} + b x + c \leq 2 x^{2} + 8 x + 6$ .二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图象上的动点.在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有满足条件的点N的坐标.

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20. 平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于 $\frac{180^{°}}{n}$ ．

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21. 数学课上，老师给出题目：如图所示，在 $R t △ A B C$ 中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2$ ，点D ， E分别是边 $A B$ 和边 $B C$ 上的动点，且 $A D = B E$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ．请探究 $A E + C D$ 是否存在最小值？并说明理由．
嘉淇的想法是把 $A E$ 和 $C D$ 转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．

(1)、在射线 $A C$ 上取点F ，使 $A F = A D$ ，把 $△ A D C$ 绕点A顺时针旋转，使点D落在点F处，点C落在点G处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出 $△ A F G$ ，并连接 $B F$ ；
②求证： $A E = B F$ ．

(2)、在（1）的基础上，请你通过探索，求出 $C D + A E$ 的最小值，并直接写出此时 $A D$ 的长度．

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22. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD ．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M ．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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四、综合题

23. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的线段 $P Q$ ，给出如下定义：若存在 $△ P Q R$ 使得 $S_{△ P Q R} = P Q^{2}$ ，则称 $△ P Q R$ 为线段 $P Q$ 的“等幂三角形”，点R称为线段 $P Q$ 的“等幂点”．

(1)、已知 $A (2 ， 0)$ ，若存在等腰 $△ O A B$ 是线段 $O A$ 的“等幂三角形”，求点B的坐标；

(2)、已知点C的坐标为 $C (2 ， - 1)$ ，点D在直线 $y = x - 3$ 上，记图形M为以点 $T (1 ， 0)$ 为圆心，2为半径的 $⊙ T$ 位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段 $C D$ 的“等幂三角形” $△ C D E$ 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标 $x_{D}$ 的取值范围．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于 $△ O A B$ 和点 $P ($ 不与点 $O$ 重合 $)$ 给出如下定义：若边 $O A$ ， $O B$ 上分别存在点 $M$ ，点 $N$ ，使得点 $O$ 与点 $P$ 关于直线 $M N$ 对称，则称点 $P$ 为 $△ O A B$ 的“翻折点”．

(1)、已知 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 3 \sqrt{3}) .$
$①$ 若点 $M$ 与点 $A$ 重合，点 $N$ 与点 $B$ 重合，直接写出 $△ O A B$ 的“翻折点”的坐标；
$② P$ 是线段 $A B$ 上一动点，当 $P$ 是 $△ O A B$ 的“翻折点”时，求 $A P$ 长的取值范围；

(2)、直线 $y = - \frac{3}{4} x + b (b > 0)$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若存在以直线 $A B$ 为对称轴，且斜边长为 $2$ 的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为 $△ O A B$ 的“翻折点”，直接写出 $b$ 的取值范围．

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25. 问题背景：如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点D，在 $△ A E F$ 中， $∠ A E F = 9 0^{°}$ ， $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，连接 $B F ， M 是 B F$ 中点，连接 $E M 和 D M$ ，在 $△ A E F$ 绕点A旋转过程中，线段 $E M 和 D M$ 之间存在怎样的数量关系？

(1)、观察发现：
为了探究线段 $E M$ 和 $D M$ 之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将 $△ A E F$ 绕点A旋转，使 $A E 与 A B$ 重合，如图2，易知 $E M$ 和 $D M$ 之间的数量关系为；

(2)、操作证明：
继续将 $△ A E F$ 绕点A旋转，使 $A E$ 与 $A D$ 重合时，如图3，（1）中线段 $E M 和 D M$ 之间的数量关系仍然成立，请加以证明．

(3)、问题解决：
根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P ， Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点 $P^{'}$ ， $x$ 轴正半轴上存在点 $Q^{'}$ ，使 $P P^{'} / / Q Q^{'}$ ，且 $∠ 1 = ∠ 2 = α$ （如图1），则称点P与点Q为 $α$ －关联点．

(1)、在点 $Q_{1} (3 ， 1)$ ， $Q_{2} (5 ， 2)$ 中，与 $(1 ， 3)$ 为45°－关联点的是；

(2)、如图2， $M (6 ， 4)$ ， $N (8 ， 4)$ ， $P (m ， 8)$ $(m > 1)$ ．若线段 $M N$ 上存在点Q，使点P与点Q为45°－关联点，结合图象，求m的取值范围；

(3)、已知点 $A (1 ， 8)$ ， $B (n ， 6)$ $(n > 1)$ ．若线段 $A B$ 上至少存在一对30°－关联点，直接写出n的取值范围．

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27. 给定图形 $W$ 和点 $P$ ， $Q$ ，若图形 $W$ 上存在两个不重合的点 $M$ ， $N$ ，使得点 $P$ 关于点 $M$ 的对称点与点 $Q$ 关于点 $N$ 的对称点重合，则称点 $P$ 与点 $Q$ 关于图形 $W$ 双对合.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 1 ， - 2)$ ， $B (5 ， - 2)$ ， $C (- 1 ， 4)$ ．

(1)、在点 $D (- 4 ， 0)$ ， $E (2 ， 2)$ ， $F (6 ， 0)$ 中，与点 $O$ 关于线段 $A B$ 双对合的点是；

(2)、点 $K$ 是 $x$ 轴上一动点， $⊙ K$ 的直径为1．
①若点 $A$ 与点 $T (0 ， t)$ 关于 $⊙ K$ 双对合，求 $t$ 的取值范围；
②当点 $K$ 运动时，若 $△ A B C$ 上存在一点与 $⊙ K$ 上任意一点关于 $⊙ K$ 双对合，直接写出点 $K$ 的横坐标 $k$ 的取值范围．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的线段 $P Q$ ，给出如下定义：若存在 $△ P Q R$ 使得 $S_{△ P Q R} = P Q^{_{2}}$ ，则称 $△ P Q R$ 为线段 $P Q$ 的“等幂三角形”，点R称为线段 $P Q$ 的“等幂点”．

(1)、已知 $A (2 ， 0)$ ．
①在点 $P_{1} (2 ， 4) ， P_{2} (1 ， 2) ， P_{3} (- 4 ， 1) ， P_{4} (1 ， - 4)$ 中，线段 $O A$ 的“等幂点”是 ▲ ；

②若存在等腰 $△ O A B$ 是线段 $O A$ 的“等幂三角形”，求点B的坐标；

(2)、已知点C的坐标为 $C (2 ， - 1)$ ，点D在直线 $y = x - 3$ 上，记图形M为以点 $T (1 ， 0)$ 为圆心，2为半径的 $⊙ T$ 位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E ，使得线段 $C D$ 的“等幂三角形” $△ C D E$ 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标 $x_{D}$ 的取值范围．

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29. 定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y ，使得数量上y＝x² ，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边．

(1)、如图，△ABC中， ∠C＝90°，∠B＝∠CAD ， D是BC边上一点．CD＝1，证明△ABC是平方三角形；

(2)、在（1）的条件下，若AC=2，求tan∠DAB ．

(3)、若a ， b ， c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值；

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五、实践探究题

30. 已知P为△ABC所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，若存在一个三角形与△ABC相似（全等除外）那么就称P为△ABC的共相似点”根据“共相似点“是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点”，“边共相似点或“外共相似点”．

(1)、据定义可知，等边三角形（填“存在”或“不存在）共相似点

(2)、如图1，若△ABC的一个边共相似点P与其对角顶点B的连线，将△ABC分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【探究】用边共相似点探究三角形的形状

【探究2】用内共相似点探究三角形的内角关系

(3)、如图2，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，高线CD与角平分线BE交于点P，若P是△ABC的一个内共相似点试说明点E是△ABC的边共相似点，并直接写出∠A的度数；
【探究】探究直角三角形共相似点的个数

(4)、如图3，在R△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝ $\sqrt{3}$ ，若△PBC与△ABC相以，则满足条件的P点共有个．

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31. 阅读材料，回答问题：
小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= $\sqrt{3}$ ，AB=c=2，那么 $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ 的关系．

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

(1)、如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ ”的关系是否成立？

(2)、完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．

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32. 阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|²+|y₂﹣y₁|² ，所以A，B两点间的距离为AB= $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ．

我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x﹣0|²+|y﹣0|² ，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r² ．

问题拓展：

如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²　．

综合应用：

如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．

①证明AB是⊙P的切线；

②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

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备考2024年中考数学核心素养专题二十一 几何图形的存在性问题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

备考2024年中考数学核心素养专题二十一几何图形的存在性问题