备考2024年中考数学核心素养专题十九圆的动态几何问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，将半径为 $4$ 的圆形纸片折叠使弧 $A B$ 经过圆心 $O$ ，过点 $O$ 作直径 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是半径 $O D$ 上一动点，连接 $A P$ ，则 $A P$ 的长度不可能是（）

A、 $4$
B、 $5$
C、 $6$
D、 $7$

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2. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $∠ A B D = 60 °$ ，点 $O$ 在对角线 $B D$ 上，圆 $O$ 经过点 $C$ ．如果矩形 $A B C D$ 有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（）

A、 $0 < r \leq 1$ B、 $1 < r \leq \sqrt{3}$ C、 $1 < r \leq 2$ D、 $\sqrt{3} < r \leq 2$

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3. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ， D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 $\frac{P B}{P C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{13 - 1}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13 + 1}}{4}$

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4. 如图， $A D$ 、 $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿 $O \to C \to D \to O$ 的路线匀速运动．设 $∠ A P B = y$ （单位为度），那么y关于点P运动的时间x（单位：秒）的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $∠ A = ∠ B = 45 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，点 $C$ ， $D$ 分别在 $∠ A$ ， $∠ B$ 的另一边上运动，并保持 $C D =$ 2，点 $M$ 在边 $B C$ 上， $B M = 2$ ，点 $N$ 是 $C D$ 的中点，若点 $P$ 为 $A B$ 上任意一点，则 $P M + P N$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{5} + 1$ C、 $2 \sqrt{2} - 1$ D、 $2 \sqrt{5} - 1$

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6. 如图， $A B ， A C$ 分别是半圆O的直径和弦， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一个动点，连接AD．过点C作 $C E ⊥ A D$ 于E，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{13} - 2$ B、 $\sqrt{13} - 3$ C、2 D、3

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7. 如图，抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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8. 如图，函数 $y = 2 x$ 与函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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9. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10} - 6$ B、 $3 \sqrt{26} - 10$ C、 $4 \sqrt{6} - 4$ D、 $4 \sqrt{13} - 8$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ，点O是 $A B$ 的三等分点，半圆O与 $A C$ 相切，M，N分别是 $B C$ 与半圆弧上的动点，则 $M N$ 的最小值和最大值之和是（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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二、填空题

11. 如图，抛物线y＝x²﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是．

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12. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (8 ， 0)$ 、点 $B (0 ， 6)$ ， $⊙ A$ 的半径为5，点C是 $⊙ A$ 上的动点，点P是线段 $B C$ 的中点，那么 $O P$ 长的取值范围是．

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13. 如图，AB是半径为4的⊙O的弦，且AB＝6，将 $\hat{A B}$ 沿着弦AB折叠，点C是折叠后的 $\hat{A B}$ 上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D ，点E是CD的中点，连接EO ，则EO的最小值为．

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14. 如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．

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15. 如图，已知直线 $y = \frac{3}{4} x - 3$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以 $C (0 ， 1)$ 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接 $P A ， P B$ ．则 $△ P A B$ 面积的最大值与最小值的差为．

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三、解答题

16. 已知：如图1，四边形ABCD内接于 $⊙$ O，AC⊥BD于点P，F为BC延长线上一点．

(1)、求证：∠DCF=∠DAB

(2)、过O作OE⊥AB于点E(如图2)，试猜想线段OE与DC的数量关系，并证明你的猜想.

(3)、当图2中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时 $($ 如图 $3$ 所示 $)$ ，（2）中的猜想是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．

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17. 如图所示，矩形 $O A B C$ 中， $O A = 6 \sqrt{3} c m$ ， $O C = 6 c m$ ，以点 $O$ 为圆心作半径 $r = 3 \sqrt{3} c m$ 的圆，交 $O A$ 于点 $D$ ，点 $P$ 在线段 $O D$ 上，过点 $P$ 作 $M N$ $⊥ O A$ ，交圆于两点 $M$ ， $N$ ，连接 $O M$ ， $O N$ 的延长线交 $B C$ 于点 $Q$ ．设 $O P = t$ （ $c m$ ）．

(1)、当 $O Q = 2 C Q$ 时， $M N$ = $c m$ ；

(2)、在 $∠ M O N$ 从 $120 °$ 减少到 $90 °$ 的过程中，求点 $Q$ 下降的高度；

(3)、设 $B C$ 的中点为 $E$ ，当点 $Q$ 在线段 $B E$ 上时，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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18. 已知在半圆O中，直径 $A B = 10$ ，点 $C ， D$ 在半圆0上运动，弦 $C D = 5$ ．

(1)、如图1，当弧 $A C$ 与弧 $B D$ 相等时，求证： $△ C A B ≌ △ D B A$ ．

(2)、如图2，若 $∠ D A B = 22.5 °$ ，求图中阴影部分（弦 $A D 、$ 真径 $A B$ 、弧 $B D$ 围成的图形）的面积；

(3)、如图3，取 $C D$ 的中点 $M$ ，点 $C$ 从点 $A$ 开始运动到点 $D$ 与点 $B$ 重合时结束，在整个运动过程中：
①点 $M$ 的运动路径的总长；
②点 $M$ 到 $A B$ 的距离的最小值是．

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19. 如图，AB是⊙O的直径，OA＝3．动点P从点A出发，在圆O上顺时针运动到终点B ，速度为每秒π个单位．同时动点Q从点B出发，在⊙O上沿顺时针方向运动，速度每秒3π个单位，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．连结OP、OQ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、⊙O的周长为；

(2)、当点P与点Q重合时，求 $\overset{⌢}{A P}$ 所在的扇形的面积；

(3)、当OP⊥OQ时，求t的值；

(4)、作半径OP的垂直平分线交⊙O于点M、N，连结PQ．当PQ将线段MN分成1：2的两部分时，直接写出t的值．

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20. 如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 点，与 $y$ 轴交于 $B$ 点，以 $A B$ 为直径作圆 $O_{1}$ ，过 $B$ 作圆 $O_{1}$ 的切线交 $x$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求 $C$ 点的坐标；

(2)、设点 $D$ 为 $B C$ 延长线上一点， $C D = B C$ ， $P$ 为线段 $B C$ 上的一个动点（异于 $B$ ， $C$ ），过 $P$ 点作 $x$ 轴的平行线交 $A B$ 于 $M$ ，交 $D A$ 的延长线于 $N$ ，试判断 $P M + P N$ 的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．

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21. 对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设 $k = \frac{A Q + B Q}{C Q}$ ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ， $k = \frac{2 A Q}{C Q}$ （或 $\frac{2 B Q}{C Q}$ ）．
已知在平面直角坐标系xOy中，Q(-1，0)，C(1，0)，⊙C的半径为r．

(1)、如图1，当 $r = \sqrt{2}$ 时，
①若A₁(0，1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．

②A₂(1+ $\sqrt{2}$ ，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．

(2)、若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．

②当 $k = \sqrt{3}$ 时，求r的取值范围．

(3)、若存在r的值使得直线 $y = - \sqrt{3} x + b$ 与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“ $\sqrt{3}$ 相关依附点”，直接写出b的取值范围．

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四、综合题

22. 如图1， $⊙ l$ 与直线相离a，过圆心l作直线a的垂线，垂足为H，且交 $⊙ l$ 于P，Q两点（Q在P，H之间）.我们把点P称为 $⊙ l$ 关于直线a的“远点”，把 $P Q \cdot P H$ 的值称为 $⊙ l$ 关于直线a的“特征数”.

图1    图2

(1)、如图2，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点的坐标为 $(0 ， 4)$ ，半径为1的 $⊙ O$ 与两坐标轴交于点A，B，C，D.
①过点E作垂直于y轴的直线m，则 $⊙ O$ 关于直线m的“远点”是点    ▲        （填“A”，“B”，“C”或“D”）， $⊙ O$ 关于直线m的“特征数”为    ▲        ；
②若直线n的函数表达式为 $y = \sqrt{3} x + 4$ ，求 $⊙ O$ 关于直线n的“特征数”；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l经过点 $M (1 ， 4)$ ，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径作 $⊙ F$ .若 $⊙ F$ 与直线l相离，点 $N (- 1 ， 0)$ 是 $⊙ F$ 关于直线l的“远点”，且 $⊙ F$ 关于直线l的“特征数”是 $6 \sqrt{6}$ ，直接写出直线l的函数解析式.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (2 ， 0)$ ，和点 $B (4 ， 0)$ ，直线是对称轴．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、在直线上是否存在点 $C$ ，使 $∠ A C B = 4 5^{°}$ ？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、 $P$ 为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线右侧，连接 $P A$ ， $P B$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ l$ ，垂足为 $M$ ，以点 $M$ 为圆心，作半径为 $r$ 的圆， $P T$ 与 $⊙ M$ 相切，切点为 $T$ ．若 $P T^{2} = S_{Δ P A B}$ ，且 $⊙ M$ 不经过点 $(3 ， 3)$ ，求 $P M$ 长的取值范围．

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24.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d .$ 对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“关联点”

(1)、如图 $1$ ，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ ，在点 $P_{1} (- 1 ， 0)$ ， $P_{2} (2 ， 8)$ ， $P_{3} (3 ， 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21} ， - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“关联点”是．

(2)、如图 $2$ ，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中 $D$ 点的坐标为 $(1 ， 1) .$ 若直线 $y = x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“关联点” $.$ 求 $b$ 的取值范围；

(3)、已知点 $M (1 ， 0) ， N (0 ， \sqrt{3})$ ，图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心， $1$ 为半径的 $⊙ T .$ 若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为 $⊙ T$ 的“关联点“，直接写出 $t$ 的取值范围．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给定圆 $C$ 和点 $P$ ，若过点 $P$ 最多可以作出 $k$ 条不同的直线，且这些直线被圆 $C$ 所截得的线段长度为正整数，则称点 $P$ 关于圆 $C$ 的特征值为 $k .$ 已知圆 $O$ 的半径为 $2$ ，

(1)、若点 $M$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ，则经过点 $M$ 的直线被圆 $O$ 截得的弦长的最小值为，点 $M$ 关于圆 $O$ 的特征值为；

(2)、直线 $y = x + b$ 分别与 $x$ ， $y$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，若线段 $A B$ 上总存在关于圆 $O$ 的特征值为 $4$ 的点，求 $b$ 的取值范围；

(3)、点 $T$ 是 $x$ 轴正半轴上一点，圆 $T$ 的半径为 $1$ ，点 $R$ ， $S$ 分别在圆 $O$ 与圆 $T$ 上，点 $R$ 关于圆 $T$ 的特征值记为 $r$ ，点 $S$ 关于圆 $O$ 的特征值记为 $s .$ 当点 $T$ 在 $x$ 轴正轴上运动时，若存在点 $R$ ， $S$ ，使得 $r + s = 3$ ，直接写出点 $T$ 的横坐标 $t$ 的取值范围．

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26. 在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 边上的两点，连接 $B F$ 、 $C E$ 并延长交于点 $Q$ ，连接 $D Q$ ， $H$ 为 $C Q$ 上一点，连接 $B H$ 、 $D H$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $H$ 为 $C E$ 的中点，且 $4 D E = A B$ ， $D H = \sqrt{17}$ ，求线段 $B C$ 的长；

(2)、如图 $2$ ，过点 $H$ 作 $H P / / B C$ ，且 $H B = H P$ ，连接 $B P$ ，刚好交 $C H$ 的中点 $G$ ，当 $∠ Q F E + ∠ Q B H = 90 °$ 时，求证： $B P + \sqrt{2} D Q = 2 C Q$ ；

(3)、如图 $3$ ，在 $(1)$ 的条件下，点 $M$ 为线段 $A D$ 上一动点，连接 $C M$ ，作 $B N ⊥ C M$ 于点 $N$ ，将 $△ B C N$ 沿 $B C$ 翻折得到 $△ B C N'$ ，点 $S$ 、 $R$ 分别为线段 $B C$ 、 $C N'$ 上两点，且 $B C = 4 C S$ ， $N' C = 3 N' R$ ，连接 $B R$ 、 $N' S$ 交于点 $O$ ，连接 $C O$ ，请直接写出 $△ B C O$ 面积的最大值．

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (m ， n)$ ，我们称直线 $y = m x + n$ 为点 $P$ 的关联直线 $.$ 例如，点 $P (2 ， 4)$ 的关联直线为 $y = 2 x + 4$ ．

(1)、已知点 $A (1 ， 2)$ ．
$①$ 点 $A$ 的关联直线为；
$②$ 若 $⊙ O$ 与点 $A$ 的关联直线相切，则 $⊙ O$ 的半径为；

(2)、已知点 $C (0 ， 2)$ ，点 $D (d ， 0) .$ 点 $M$ 为直线 $C D$ 上的动点．
$①$ 当 $d = 2$ 时，求点 $O$ 到点 $M$ 的关联直线的距离的最大值；
$②$ 以 $T (- 1 ， 1)$ 为圆心， $3$ 为半径作 $⊙ T .$ 在点 $M$ 运动过程中，当点 $M$ 的关联直线与 $⊙ T$ 交于 $E$ ， $F$ 两点时， $E F$ 的最小值为 $4$ ，请直接写出 $d$ 的值．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P$ ， $C$ ， $Q ($ 点 $P$ 与点 $C$ 不重合 $)$ ，给出如下定义：若 $∠ P C Q = 90 °$ ，且 $\frac{C Q}{C P} = \frac{1}{k}$ ，则称点 $Q$ 为点 $P$ 关于点 $C$ 的“ $k -$ 关联点”．
已知点 $A (3 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 3 \sqrt{3})$ ， $⊙ O$ 的半径为 $r$ ．

(1)、 $①$ 在点 $D (0 ， 3)$ ， $E (0 ， - 1.5)$ ， $F (3 ， 3)$ 中，是点 $A$ 关于点 $O$ 的“ $1 -$ 关联点”的为；
$②$ 点 $B$ 关于点 $O$ 的“ $\sqrt{3} -$ 关联点”的坐标为；

(2)、点 $P$ 为线段 $A B$ 上的任意一点，点 $C$ 为线段 $O B$ 上任意一点 $($ 不与点 $B$ 重合 $)$ ．
$①$ 若 $⊙ O$ 上存在点 $P$ 关于点 $O$ 的“ $\sqrt{3} -$ 关联点”，直接写出 $r$ 的最大值及最小值；
$②$ 当 $r = 3 \sqrt{21}$ 时， $⊙ O$ 上不存在点 $P$ 关于点 $C$ 的“ $k -$ 关联点”，直接写出 $k$ 的取值范围：．

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29. 如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是边 $B C$ 上的动点， $E$ 在 $△ A B P$ 的外接圆上，且位于正方形 $A B C D$ 的内部， $E A = E P$ ，连结 $A E$ ， $E P$ ．

(1)、求证： $△ P A E$ 是等腰直角三角形；

(2)、如图 $2$ ，连结 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，请探究线段 $D E$ 与 $P F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、当点 $P$ 是 $B C$ 的中点时， $D E = 4$ ．
①求 $B C$ 的长；
②若点 $Q$ 是 $△ A B P$ 外接圆上的动点，且位于正方形 $A B C D$ 的外部，连结 $A Q .$ 当 $∠ P A Q$ 与 $△ A D E$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $A Q$ 的长．

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五、实践探究题

30. 先阅读材料，再解答问题：
已知点 $P (x_{0} ： y_{0})$ 和直线 $y = k x + b$ ，则点P到直线 $y = k x + b$ 的距离d可用公式 $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ 计算．例如：求点 $P (- 2 ， 1)$ 到直线 $y = 2 x + 3$ 的距离．

解：由直线 $y = 2 x + 3$ 可知： $k = 2 ， b = 3$ ．

所以点 $P (- 2 ， 1)$ 到直线 $y = 2 x + 3$ 的距离为 $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{| 2 \times (- 2) - 1 + 3 |}{\sqrt{1 + 2^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

求：

(1)、求点P（2，-1）到直线y=x+1的距离．

(2)、已知直线 $y = 2 x + 1$ 与 $y = 2 x - 5$ 平行，求这两条平行线之间的距离；

(3)、如图已知直线 $y = - \frac{4}{3} x - 4$ 分别交 $x ， y$ 轴于 $A ， B$ 两点，☉C是以 $C (2 ， 2)$ 为圆心， $2$ 为半径的圆， $P$ 为☉C上的动点，试求 $Δ P A B$ 面积的最大值．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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