备考2024年中考数学核心素养专题十七三角形的动态几何问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $P$ 为边 $B C$ 上一动点， $P E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $P F ⊥ A C$ 于 $F$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿着 $B C$ 匀速向终点 $C$ 运动，则线段 $E P$ 的值大小变化情况是（）

A、一直增大 B、一直减小 C、先减小后增大 D、先增大后减少

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2. 已知 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 4$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， D是 $A B$ 边的中点，点E、F分别在 $A C$ 、 $B C$ 边上运动，且保持 $A E = C F$ ．连接 $D E$ 、 $D F$ 、 $E F$ 得到下列结论：① $△ D E F$ 是等腰直角三角形；② $△ C E F$ 面积的最大值是2；③ $E F$ 的最小值是2．其中正确的结论是（）

A、②③ B、①② C、①③ D、①②③

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3. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ， O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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4. 如图所示，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ， $P$ 是线段 $C D$ 上一个动点，以 $P$ 为直角顶点向下作等腰 $R t Δ B P E$ ，连结 $A E$ ， $D E$ ，则 $D E$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 如图，点 $E$ 是等边三角形 $A B C$ 边 $A C$ 的中点，点 $D$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $E D$ ，并绕点 $E$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $D F$ ．若运动过程中 $A F$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ ，则 $A B$ 长为（）．

A、2 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 如图，在 $△ D E F$ 中， $∠ D = 90 ° ， D G ： G E = 1 ： 3 ， G E = G F$ ， Q是 $E F$ 上一动点，过点Q作 $Q M ⊥ D E$ 于M， $Q N ⊥ G F$ 于N， $E F = 2 \sqrt{6}$ ，则 $Q M + Q N$ 的长是（）

A、定值 $2 \sqrt{3}$ B、定值 $\sqrt{6}$ C、不确定 D、定值 $2 \sqrt{2}$

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7. 如图，已知线段 $A B = 6$ ，点P为线段 $A B$ 上一动点，以 $P B$ 为边作等边 $△ P B C$ ，以 $P C$ 为直角边， $∠ C P E$ 为直角，在 $△ P B C$ 同侧构造 $R t △ P C E$ ，点M为 $E C$ 的中点，连接 $A M$ ，则AM的最小值为（）

A、1 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、6

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $P$ 是 $B C$ 下方的一动点，记 $△ A B C$ ， $△ P B C$ 的面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．若 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，则线段 $A P$ 长的最小值是（）

A、3 B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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9. 如图， $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将 $△ ABC$ 在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在Rt $△$ ABC中，AB=AC=10，∠BAC=90°，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN．① $△$ PMN为等腰直角三角形；② $3 \sqrt{2} \leq M N \leq 8 \sqrt{2}$ ；③△PMV面积的最大值是 $\frac{49}{4}$ ；④ $△$ PMN周长的最小值为 $6 + 3 \sqrt{2}$ ．正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 6 c m$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的高，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to D$ 方向以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度向点 $D$ 运动 $.$ 设 $△ A B P$ 的面积为 $S_{1}$ ，矩形 $P D F E$ 的面积为 $S_{2}$ ，运动时间为 $t s (0 < t < 3)$ ，则 $t =$ 时， $S_{1} = 2 S_{2}$ ．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，则AE的最小值是，此时CD的长为．

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13. 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 $\sqrt{3}$ ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= .

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{61}$ ， $A C = 12$ ，点 $D$ 是斜边 $A B$ 上一个动点，连接 $C D$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ C D$ 交直线 $C D$ 于点 $E$ ，则当点 $D$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，点 $E$ 的运动路径长为．

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15. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是．

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16. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $\tan C = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 上的动点，点 $E$ 在线段 $A C$ 上，如果点 $E$ 关于直线 $A D$ 对称的点 $F$ 恰好落在线段 $B C$ 上，那么 $C E$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 有一根长方形直尺宽为4cm，长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的宽DE与直角三角板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角板重叠部分的面积为Scm² ，

(1)、当直角顶点C落在直尺的长上时，x=cm；

(2)、当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式；

(3)、是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm²？若存在直接写出x的值，若不存在，请说明理由。

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18. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4 .$ 点 $P$ 从点 $C$ 出发沿折线 $C A - A B$ 以每秒 $1$ 个单位长的速度向点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $B C - C A - A B$ 以每秒 $2$ 个单位长的速度向点 $B$ 匀速运动，点 $P$ 、 $Q$ 同时出发，当其中一点到达点 $B$ 时停止运动，另一点也随之停止 $.$ 设点 $P$ 、 $Q$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时， $P Q =$ ；当 $t = 5$ 时， $P Q =$ ．

(2)、当点 $P$ 、 $Q$ 重合时，求出 $B P$ 的长．

(3)、点 $P$ 、 $Q$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 上时， $△ P Q C$ 的面积能否是 $△ A B C$ 面积的一半？若能，求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

(4)、当 $P Q$ 与 $△ A B C$ 的一边平行时，直接写出 $t$ 的值．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 8$ .点 $P$ 在边 $C B$ 上运动，点 $C$ 关于点 $P$ 的对称点为点 $Q$ ，以 $P Q$ 为边在 $B C$ 上方作正方形 $P Q M N$ .设 $C P = x (0 < x < 8)$ .

(1)、 $A C$ 的长为.

(2)、求线段 $B Q$ 的长.（用含x的代数式表示）

(3)、当正方形 $P Q M N$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的图形为四边形时，求 $x$ 的取值范围.

(4)、连结 $B N$ ，当 $B N$ 所在直线将正方形 $P Q M N$ 的面积分成1：2两部分时，直接写出 $x$ 的值.

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $B C$ 中点， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $t a n B = \frac{4}{3} .$ 动点 $P$ 从点 $M$ 出发，沿 $M - B - A$ 以每秒 $1$ 个单位的速度向终点 $A$ 运动 $.$ 连结 $P M$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ P M$ ，且 $P Q = 2 P M$ ，连结 $Q M$ ，点 $A$ 和点 $Q$ 始终在直线 $B C$ 的同侧 $.$ 设运动的时间为 $t$ 秒 $. (t > 0)$

(1)、当点 $P$ 沿 $M - B - A$ 运动时，求 $B P$ 的长 $($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$ ．

(2)、当点 $Q$ 落在 $A B$ 边上时，求 $t$ 的值．

(3)、连结 $A Q$ ，当 $A Q$ 与平行四边形 $A B C D$ 的边平行时，直接写出 $t$ 的值．

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21. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 5 ， B C = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，其中点 $A ， C$ 的对应点分别为点 $A^{'} ， C^{'}$ ．

(1)、如图1，当点 $A^{'}$ 落在 $A C$ 的延长线上时，则 $A A^{'}$ 的长为；

(2)、如图2，当点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 的延长线上时，连接 $C C^{'}$ ，交 $A^{'} B$ 于点 $M$ ，求 $B M$ 的长；

(3)、如图3，连接 $A A^{'} ， C C^{'}$ ，直线 $C C^{'}$ 交 $A A^{'}$ 于点 $D$ ，若E为AC的中点，连接 $D E$ ．在旋转过程中， $D E$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $D E$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

22. 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

(1)、设△APQ的面积为S ，则S＝；（用含t的代数式表示）

(2)、如图乙，连接PC ，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ，当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；

(3)、当△APQ是等腰三角形时，求t的值？

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23. 如图 $1$ ，在坐标系中的 $△ A B C$ ，点 $A$ 、 $B$ 在 $x$ 轴，点 $C$ 在 $y$ 轴，且 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点．

(1)、求直线 $B C$ 的表达式；

(2)、如图 $2$ ，若 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A C$ ， $C D$ 的中点，矩形 $E F G H$ 的顶点都在 $△ A C D$ 的边上，若 $E F = 2$ ， $F G = \sqrt{3}$ ，将矩形 $E F G H$ 沿射线 $A B$ 向右平移，设矩形移动的距离为 $m$ ，矩形 $E F G H$ 与 $△ C B D$ 重叠部分的面积为 $S$ ，当 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ 时，请直接写出平移距离 $m$ 的值；

(3)、如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，在矩形 $E F G H$ 平移过程中，当点 $F$ 在边 $B C$ 上时停止平移，再将矩形 $E F G H$ 绕点 $G$ 按顺时针方向旋转，当点 $H$ 落在直线 $C D$ 上时，此时矩形记作 $E_{1} F_{1} G H_{1}$ ，由 $H_{1}$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $Q$ ，请计算 $\frac{H_{1} Q}{H_{1} G}$ 的值．

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24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(-3，0)．C(1，0)， $\frac{B C}{A C} = \frac{3}{4}$

(1)、求过点A、B的直线的函数解析式；

(2)、在x轴上找一点D，连按DB，使得△ADB与△ABC相似，并求点D的坐标；

(3)、在⑵的条件下，P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请直接写出m的值：如不存在，请说明理由．

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6 .$ 动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 以每秒 $5$ 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 重合时，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ 、 $P E / / A C$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ ， $D E$ 与 $P E$ 交于点 $E .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、线段 $A D$ 的长为； $($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$

(2)、当点 $E$ 落在 $B C$ 边上时，求 $t$ 的值；

(3)、当直线 $P E$ 将 $△ A B C$ 的面积分成 $1$ ： $3$ 的两部分时，求 $t$ 的值；

(4)、当点 $E$ 落在 $△ A B C$ 的角平分线上时，直接写出 $t$ 的值．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C = 10$ ， $B C$ 边上高为 $8$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $B A - A C$ 向点 $C$ 运动，在 $B A$ 、 $A C$ 上的速度分别为每秒 $5$ 个单位长度和每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位长度 $.$ 当点 $P$ 不与点 $A$ 重合时，连接 $P D$ ，以 $P A$ 、 $P D$ 为邻边作▱ $A P D E .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒，t＞0

(1)、①线段 $A C$ 的长为； $②$ 用含 $t$ 的代数式表示线段 $A P$ 的长；

(2)、当点 $E$ 在 $△ A B C$ 内部时，求 $t$ 的取值范围；

(3)、当▱ $A P D E$ 是菱形时，求 $t$ 的值；

(4)、作点 $B$ 关于直线 $P D$ 的对称点 $B'$ ，连接 $B' D$ ，当 $B' D ⊥ B C$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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27.
如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 的中点 $.$ 动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿折线 $C B - B A$ 向终点 $A$ 运动，点 $P$ 在 $C B$ 边上以每秒 $3$ 个单位长度的速度运动，在 $B A$ 边上以每秒 $5$ 个单位长度的速度运动，在点 $P$ 运动的过程中，过点 $P$ 作 $C D$ 的平行线，过点 $D$ 作 $P C$ 的平行线，两条平行线相交于点 $E .$ 点 $P$ 不与点 $C$ 、点 $A$ 重合，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．
.

(1)、CB= ．

(2)、用含 $t$ 的代数式直接表示 $P B$ 的长．

(3)、当四边形 $C P E D$ 是轴对称图形时，求出 $t$ 的值．

(4)、连接 $C E$ ，如图 $②$ ，当 $C E$ 将 $△ A B C$ 的面积分成 $1$ ： $2$ 两部分时，直接写出 $t$ 的值．

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五、实践探究题

28. 【命题】在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【证明】如图 $①$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
方法一：如图 $②$ ，作斜边 $A B$ 上的中线 $C D$ ，则 $C D = \frac{1}{2} A B = A D = B D$ ．
$∵ ∠ A = 30 °$ ，
$∴ ∠ B = 60 °$ ．
$∴ △ B C D$ 是    ▲        三角形．
$∴ B C = B D = \frac{1}{2} A B$ ．
方法二：如图 $③$ ，作点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点 $D$ ，连接 $A D$ ．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，
$∴ ∠ D = ∠ B = ∠ B A D = 60 °$ ．
$∴ △ A B D$ 是等边三角形．
$∴ B D = A D =$     ▲         ．
$∴ B C = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A B$ ．

(1)、阅读上面两种不完整的证明方法后，请补全证明过程．

(2)、【应用】如图 $①$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，且 $B C = 1 .$ 点 $P$ 是边 $A C$ 上一点．
①若 $A P = \frac{1}{2} A B$ ，点 $P$ 到边 $A B$ 的距离为    ▲         ．
②若 $C P = \frac{1}{2} A B$ ，求点 $P$ 到边 $A B$ 的距离．

(3)、【延伸】如图 $①$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，点 $P$ 是边 $A C$ 上一点，连接 $B P$ ．若 $B C = \sqrt{3}$ ，直接写出 $B P + \frac{1}{2} A P$ 的最小值．

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29. 回答下列问题：

(1)、如图1，AB＝BC，当∠ABC＝90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．

(2)、在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小．

(3)、如图2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC面积是．

(4)、如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝ $\sqrt{3}$ ， PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．

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30. 在等腰△ABC中，AC＝BC ， $△ A D E$ 是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝ $\frac{1}{2}$ ∠ACB ，连接BD ， BE ，点F是BD的中点，连接CF ．

(1)、当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ▲ ．线段BE与线段CF的数量关系是 ▲ ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM ，并取BE的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G ，连接AG ， CG ，并把 $△ C A G$ 绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．

(2)、当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．

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31. 如图 $1$ ，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰直角三角形，点 $D$ 、 $E$ 分别在线段 $A B$ 、 $A C$ 上， $∠ C = ∠ A E D = 90 °$ ．

(1)、观察猜想：
如图 $2$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，连接 $B D$ 、 $C E$ ， $B D$ 的延长线交 $C E$ 于点 $F .$ 当 $B D$ 的延长线恰好经过点 $E$ 时，点 $E$ 与点 $F$ 重合，此时，
$① \frac{B D}{C E}$ 的值为；
$② ∠ B F C$ 的度数为度；

(2)、类比探究：
如图 $3$ ，继续旋转 $△ A D E$ ，点 $F$ 与点 $E$ 不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．

(3)、拓展延伸：
若 $A E = D E = \sqrt{2}$ ， $A C = B C = \sqrt{10}$ ，当 $C E$ 所在的直线垂直于 $A D$ 时，请你直接写出线段 $B D$ 的长．

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32. 如图

(1)、【探究发现】如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ， $E$ 是 $A D$ 边上一点，作 $O F ⊥ O E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．学习小队发现，不论点 $E$ 在 $A D$ 边上运动过程中， $△ A O E$ 与 $△ B O F$ 恒全等，请你证明这个结论；

(2)、【类比迁移】如图2，矩形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ， $∠ A B D = 30 °$ ， $E$ 是 $B A$ 延长线上一点，将 $O E$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $O F$ ，点 $F$ 恰好落在 $D A$ 的延长线上，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值；

(3)、【拓展提升】如图3，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $B C = 12$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上一点，以 $B E$ 为边在 $B C$ 的上方作等边 $△ B E F$ ，连接 $C F$ ，取 $C F$ 的中点 $M$ ，连接 $A M$ ，当 $A M = \sqrt{7}$ 时，直接写出 $B E$ 的长．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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