备考2024年中考数学核心素养专题十六二次函数的动态几何问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿 $A \to B \to C$ 和 $A \to D \to C$ 的路径向点C运动.设运动时间为x（单位：s）四边形PBDQ的面积为y（单位： $c m^{2}$ ），则y与 $x (0 < x < 8)$ 之间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 某兴趣小组开展综合实践活动：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C D = \sqrt{2} ， D$ 为 $A C$ 上一点，动点 $P$ 以每秒1个单位的速度从 $C$ 点出发，在三角形边上沿 $C \to B \to A$ 匀速运动，到达点 $A$ 时停止，以 $D P$ 为边作正方形 $D P E F$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ，正方形 $D P E F$ 的面积为 $S$ ，当点 $P$ 由点 $C$ 运动到点 $A$ 时，经探究发现 $S$ 是关于 $t$ 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3} (t_{1} < t_{2} < t_{3})$ 对应的正方形DPEF的面积均相等，当 $t_{3} = 5 t_{1}$ 时，则正方形 $D P E F$ 的面积为（）

A、3 B、 $\frac{34}{9}$ C、4 D、5

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3. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，点 $M$ 是对称轴上的一个动点．连接 $A M ， B M$ ，当 $| A M - B M |$ 最大时，点 $M$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(1 ， - 6)$

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 15$ ， $B C = 20$ ．点 $D$ 从点 $A$ 出发沿折线 $A - C - B$ 运动到点 $B$ 停止，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ．设点 $D$ 运动的路径长为 $x$ ， $△ B D E$ 的面积为 $y$ ，若 $y$ 与 $x$ 的对应关系如图所示，则 $a - b$ 的值为（）

A、54 B、52 C、50 D、48

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5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 1$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 平行于 $x$ 轴的直线交抛物线 $y = x^{2}$ 于 $B$ 、 $C$ 两点，点 $P$ 在抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 1$ 上且在 $x$ 轴的上方，连接 $P B$ ， $P C$ 则 $△ P B C$ 面积的最大值是（）

A、5 B、4.5 C、6 D、4

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6. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 8 x + 15$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $D (0 ， - 2)$ ，点 $E (0 ， - 6)$ ，点 $P$ 是平面内一动点，且满足 $∠ D P E = 90 °$ ， $M$ 是线段 $P B$ 的中点，连结 $C M$ ．则线段 $C M$ 的最大值是（）．

A、3 B、 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、5

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7. 如图，已知抛物线经过点 $B (- 1 ， 0)$ ， $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $C (0 ， 2)$ ， P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线 $x = \frac{3}{2}$ ；②抛物线的最大值为 $\frac{9}{8}$ ；③ $∠ A C B = 90 °$ ；④OP的最小值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．则正确的结论为（）

A、①②④ B、①② C、①②③ D、①③④

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8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + 3 x - 4$ 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则 $P Q + \frac{\sqrt{2}}{2} P C$ 的最小值是（）

A、6 B、 $2 + \frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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9. 如图，直线l为抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作 $P A ⊥ x$ 轴于点A ，作PB∥x轴交抛物线于点B ，设 $P A = h$ ， $P B = m$ ，则h与m的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动。设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm² ， y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（）个
①当点P移动到点A时，点Q移动到点C ②正方形边长为6cm ③当AP=AQ时，△PAQ面积达到最大值④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=−3x+18

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ， ∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝3，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则AD的长为， BM²+2BN²的最小值是.

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12. 如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）²+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．

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13. 如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 60 ° ， B C = 2 A B$ ，动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $A B$ 运动到点 $B$ 停止，同时动点 $F$ 从点 $B$ 出发，以每秒4个单位的速度沿折线 $B - C - D$ 运动到点 $D$ 停止．图2是点 $E ， F$ 运动时， $△ B E F$ 的面积 $S$ 与运动时间 $t$ 函数关系的图象，则 $a$ 的值是．

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14. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点D在直线 $y = 3 x + 1$ 上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线 $x = - 5$ 相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为.

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15. 一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 $A D$ ， $B C$ 为同一抛物线的一部分， $A B$ ， $C D$ 都与水平地面平行，当杯子装满水后 $A B = 4 c m$ ， $C D = 8 c m$ ，液体高度 $12 c m$ ，将杯子绕 $C$ 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 $∠ A B E = 45 °$ 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 $B E =$ $c m$ ，液面 $B E$ 到点 $C$ 所在水平地面的距离是 $c m$ ．

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三、解答题

16. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为点 $B$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式．

(2)、点 $D$ 为直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $B C$ ， $C D$ ，设直线 $B D$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ ， $△ C D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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17. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与一直线相交于 $A (1 ， 0)$ ， $C (- 2 ， 3)$ 两点，与y轴交于点N ．

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、求直线AC的函数关系式；

(3)、若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求 $△ A P C$ 面积的最大值．

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18. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y=-x²+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D.

(1)、①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值.

(2)、若点Р是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图⒉所示）.当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + c$ 与 $y$ 轴相交于点 $A (0，2)$ ．

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、点 $B$ 为 $y$ 轴上一点，其纵坐标为 $m (m \neq 2)$ ，连接 $A B$ ，以 $A B$ 为边向右作正方形 $A B C D$ ．
$①$ 设抛物线的顶点为 $P$ ，当点 $P$ 在 $B C$ 上时，求 $m$ 的值；
$②$ 当点 $C$ 在抛物线上时，求 $m$ 的值；
$③$ 当抛物线与正方形 $A B C D$ 有两个交点时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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20. 矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为 $A (6 ， 0)$ 、 $C (0 ， 3)$ ，直线 $y = \frac{3}{4} x$ 与BC边相交于点D ．

(1)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

(2)、若以点A为圆心的 $⊙ A$ 与直线OD相切，试求 $⊙ A$ 的半径；

(3)、设（1）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M ，在对称轴上是否存在点Q ，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由．

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21. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）的图象经过点 $A (3 ， 0)$ 和点 $B (0 ， 3)$ .

(1)、求这个二次函数的表达式.

(2)、当 $0 \leq x \leq m + 1$ 时，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为1，求 $m$ 的取值范围.

(3)、当 $m \leq x \leq m + 1 (m > 0)$ 时，设二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为 $h$ ，求 $h$ 与 $m$ 之间的函数关系式.

(4)、点 $P$ 在直线 $x = m$ 上运动，若在坐标平面内有且只有两个点 $P$ 使 $△ P A B$ 为直角三角形，直接写出 $m$ 的取值范围.

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四、实践探究题

22. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．

(1)、直接写出b，c的值；

(2)、如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D．若PA＝PD，求m的值；

(3)、过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．

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23. 综合运用
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (3 ， 0)$ 、 $B (- 1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求抛物线的解析式与顶点 $M$ 坐标；

(2)、如图1，在对称轴上是否存在一点 $D$ ，使 $∠ D C A = ∠ D A C$ ，若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，若点 $P$ 是抛物线上的一个动点，且 $∠ A P B = 45 °$ ，请直接写出点 $P$ 的横坐标．

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24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x²+bx+c变形为（x+m）²+n的形式，然后由（x+m）²≥0就可求出多项式x²+bx+c的最小值．
例题：求多项式x²﹣4x+5的最小值．
解：x²﹣4x+5＝x²﹣4x+4+1＝（x﹣2）²+1，
因为（x﹣2）²≥0，所以（x﹣2）²+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）²+1＝1．因此（x﹣2）²+1有最小值，最小值为1，即x²﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

(1)、【理解探究】
已知代数式A＝x²+10x+20，则A的最小值为；

(2)、【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S_甲和S_乙的大小，并说明理由；

(3)、【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm ， BC＝10cm ，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t ，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？

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25. 探究函数

y = - 2 | x |^{2} + 4 | x |

的图象和性质，探究过程如下：

(1)、自变量

x

的取值范围是全体实数，

x

与

y

的几组对应值列表如下：

$x$

$\dots$

$- \frac{5}{2}$

$- 2$

$- \frac{3}{2}$

$- 1$

$- \frac{1}{2}$

$0$

$\frac{1}{2}$

$1$

$\frac{3}{2}$

$2$

$\frac{5}{2}$

$\dots$

$y$

$\dots$

$- \frac{5}{2}$

$0$

$\frac{3}{2}$

$m$

$\frac{3}{2}$

$0$

$\frac{3}{2}$

$2$

$\frac{3}{2}$

$0$

$- \frac{5}{2}$

$\dots$

其中， $m =$ ▲ $.$ 根据如表数据，在图 $1$ 所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分 $.$ 观察图象，写出该函数的一条性质；

(2)、点

F

是函数

y = - 2 | x |^{2} + 4 | x |

图象上的一动点，点

A (2 ， 0)

，点

B (- 2 ， 0)

，当

S_{△ F A B} = 3

时，请直接写出所有满足条件的点

F

的坐标；

(3)、在图

2

中，当

x

在一切实数范围内时，抛物线

y = - 2 x^{2} + 4 x

交

x

轴于

O

，

A

两点

(

点

O

在点

A

的左边

)

，点

P

是点

Q (1 ， 0)

关于抛物线顶点的对称点，不平行

y

轴的直线

l

分别交线段

O P

，

A P (

不含端点

)

于

M

，

N

两点

.

当直线

l

与抛物线只有一个公共点时，

P M

与

P N

的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

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26.

(1)、【建立模型】如图 $1$ ，点 $B$ 是线段 $C D$ 上的一点， $A C ⊥ B C$ ， $A B ⊥ B E$ ， $E D ⊥ B D$ ，垂足分别为 $C$ ， $B$ ， $D$ ， $A B = B E$ ．求证： $△ A C B ≌ △ B D E$ ；

(2)、【类比迁移】如图 $2$ ，一次函数 $y = 3 x + 3$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ 、与 $x$ 轴交于点 $B$ ，将线段 $A B$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $B C$ 、直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．
①求点 $C$ 的坐标；
②求直线 $A C$ 的解析式；

(3)、【拓展延伸】如图 $3$ ，抛物线 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，已知点 $Q (0$ ， $- 1)$ ，连接 $B Q$ ．抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $t a n ∠ M B Q = \frac{1}{3}$ ，若存在，求出点 $M$ 的横坐标．

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五、综合题

27. 如图 $1 ($ 注：与图 $2$ 完全相同 $)$ ，二次函数 $y = \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (3,0)$ ， $B (- 1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、设该抛物线的顶点为 $D$ ，求 $△ A C D$ 的面积 $($ 请在图 $1$ 中探索 $)$ ；

(3)、若点 $P$ ， $Q$ 同时从 $A$ 点出发，都以每秒 $1$ 个单位长度的速度分别沿 $A B$ ， $A C$ 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 $P$ ， $Q$ 运动到 $t$ 秒时， $△ A P Q$ 沿 $P Q$ 所在的直线翻折，点 $A$ 恰好落在抛物线上 $E$ 点处，请直接判定此时四边形 $A P E Q$ 的形状，并求出 $E$ 点坐标 $($ 请在图 $2$ 中探索 $)$ ．

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28. 如图，已知抛物线 $y = \frac{\sqrt{2}}{8} (x + 2) (x - 4)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B ($ 点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $C D / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ， $M$ 为抛物线的顶点．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标；

(2)、设动点 $N (- 2, n)$ ，求使 $M N + B N$ 的值最小时 $n$ 的值；

(3)、 $P$ 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点 $P$ ，使以 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 为顶点的三角形与 $△ A B D$ 相似 $(△ P A B$ 与 $△ A B D$ 不重合 $)$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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29. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b$ 与 $x$ 轴交于A、B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标是 $(0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点 $P$ 是第四象限内抛物线上一点，连接PB交 $y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，线段CE的长为 $d$ ，求 $d$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、如图3，点 $D$ 是第三象限内抛物线上一点，连接PD交 $y$ 轴于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B P$ 于点 $H$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接AD交BP于点 $N$ ，连接MN，若 $E F = \frac{d}{2}$ ， $∠ B N D = ∠ A N M$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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30. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x + c$ 与x轴分别交于 $A (- 1 ， 0)$ ， B两点，与y轴交于点 $C (0 ， - 2)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接 $A D ， B C$ 交于点E ，求 $\frac{D E}{A E}$ 的最大值；

(3)、如图2，连接 $A C ， B C$ ，过点O作直线 $l ∥ B C$ ，点P ， Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ， Q ，使 $△ P Q B ∽ △ C A B$ ．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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备考2024年中考数学核心素养专题十六 二次函数的动态几何问题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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