备考2024年中考数学核心素养专题十五反比例函数的动态几何问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y＝ $\frac{6}{x}$ （x＞0）图象上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y＝x相交，交点为A、B ，当弦AB的长等于2 $\sqrt{5}$ 时，点P的坐标为（　　）

A、（1，6）和（6，1） B、（2，3）和（3，2） C、（ $\sqrt{2}$ ， 3 $\sqrt{2}$ ）和（3 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ） D、（ $\sqrt{3}$ ， 2 $\sqrt{3}$ ）和（2 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ）

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2. 已知P是反比例函数y= $\frac{12}{x}$ （x>0）图象上一点，A是y轴正半轴上一点，且AP⊥BP，AP：BP=1：3，则点P的坐标为（）

A、（3，4） B、（2，6） C、（6，2） D、（4，3）

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3. 如图，等腰△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC=BC，当顶点C在函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是（）

A、一直不变 B、先增大后减小 C、先减小后增大 D、先增大后不变

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4. 如图，直线 $y = n$ 交y轴于点A，交双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 于点B，将直线 $y = n$ 向下平移2个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 于点D，若 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则n的值（）

A、4 B、3 C、2 D、5

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5. 函数y＝ $\frac{4}{x}$ 和y＝ $\frac{1}{x}$ 在第一象限内的图象如图，点P是y＝ $\frac{4}{x}$ 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝ $\frac{1}{3}$ AP．其中所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④

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6. 如图是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 和 $y = \frac{a}{x}$ （ $a ＞ 0 ， a$ 为常数）在第一象限内的图象，点M在 $y = \frac{a}{x}$ 的图象上， $M C ⊥ x$ 轴于点C，交 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点A， $M D ⊥ y$ 轴于点D，交 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点B，当点M在 $y = \frac{a}{x}$ 的图象上运动时，以下结论：① $△ O B D$ 与 $△ O C A$ 的面积相等；②四边形 $O A M B$ 的面积不变；③当点A是 $M C$ 的中点时，则点B是 $M D$ 的中点.其中错误结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝ $\frac{k_{1}}{x}$ （k₁＞0，x＞0），y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k₁﹣k₂的值为（　　）

A、12 B、﹣12 C、6 D、﹣6

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二、填空题

8. 将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点E在AD上， $D E = \frac{1}{4} A D$ ，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上.

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9. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的顶点分别为 $A (1 ， 2)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (7 ， 5)$ ，曲线 $G ： y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）．

(1)、点 $D$ 的坐标为．

(2)、当曲线 $G$ 经过 $▱ A B C D$ 的对角线的交点时， $k$ 的值为．

(3)、若 $G$ 刚好将 $▱ A B C D$ 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则 $k$ 的取值范围是．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 把 $R t △ A O B$ 分成 $W_{1}$ ， $W_{2}$ 两部分，且与 $A B ， O A$ 交于点C，D，点A的坐标为 $(- 6 ， 4)$ ．

(1)、连接 $O C$ ，若 $S_{△ O A C} = 9$ ．
①k的值为；
②点D的坐标为；

(2)、若 $W_{1}$ 内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与 $W_{2}$ 内（不含边界）的整点个数比为 $3 ： 4$ ，则k的取值范围是．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为．

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12. 如图，已知点 $A (0 ， 8)$ 和点 $B (4 ， 8)$ ，点B在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上，点C是AB的延长线上一点，过点C的直线交x轴正半轴于点E、交双曲线于点D ．如果CD＝DE ，那么线段CE长度的取值范围是．

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三、解答题

13. 如图，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A，B两点，与x轴交于点D，OB= $\sqrt{5}$ ，且点B的横坐标是点B的纵坐标的2倍．

(1)、求反比例函数的解析式．

(2)、如图，一次函数y=kx+b的图象向下平移10个单位长度，得到新的函数图象与x轴交于点C．设点A的横坐标为m，若△ABC的面积S=15，求m的值．

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14. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)图象上一点，AB⊥x轴，垂足为B，若S_△_AOB=3，一次函数y=mx+2与x轴交于点C(-1，0).

(1)、求k，m的值；

(2)、有一点P(1，2)，过点P作x轴的平行线，分别交y=mx+2和y= $\frac{k}{x}$ (x>0)的图象于点M，N.判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内的图象交于点 $A (m ， 1)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、将一次函数图象向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $△ A B O$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求平移后的一次函数表达式．

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16. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象经过 $A (0 ， - 2)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象在第一象限内的交点为 $M (m ， 4)$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、点 $C$ 是线段 $A M$ 上一点，若 $S_{△ O C M} = \frac{1}{3} S_{△ A M O}$ ，求点 $C$ 的坐标；

(3)、若点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，是否存在以点 $O$ 、 $M$ 、 $P$ 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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17. 如图1，一次函数 $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 的图像与y轴交于点A ，与反比例函数 $y = - \frac{3}{x} (x < 0)$ 的图像交于点 $B (- 3 ， b)$ ，连接 $O B$ ．

(1)、 $b =$ ， $k =$ ．

(2)、若点P在第三象限内，是否存在点P使得 $△ O B P$ 是以 $O B$ 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，C是线段 $A B$ 上一点（不与点A ， B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D ，连接 $O C$ ， $O D$ ， $B D$ ．若四边形 $O C B D$ 的面积为3，求点C的坐标．

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18. 如图所示，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，记抛物线的顶点为E。

(1)、求双曲线和抛物线的函数关系式；

(2)、计算△ABC与△ABE的面积；

(3)、在抛物线上是否存在点D，使∆ABD的面积等于∆ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

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19. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 的图象相交于点 $A (- 1 ， 6)$ ，与x轴交于点C，且 $∠ A C O = 45 °$ .

(1)、求反比例函数与一次函数关系式；

(2)、线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

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20. 如图，正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象交于点 $A (2 \sqrt{2} ， m)$ ，点P是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 图象上的一动点．过点P作 $P H ⊥ x$ 轴，垂足为H ，交直线 $y = x$ 于点G ．

(1)、求k与m的值；

(2)、若 $△ O P G$ 的面积是2，求此时点P的坐标．

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四、综合题

21. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与 $x$ 轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线” $.$ 如图 $1$ 中，若 $∠ P Q R = ∠ P R Q$ ，则直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 称为“等腰三角线”；反之，若直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 为“等腰三角线”，则 $∠ P Q R = ∠ P R Q$ ．

(1)、如图 $1$ ，若直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 为“等腰三角线”，且点 $P$ 、 $Q$ 的坐标分别为 $(2，5)$ 、 $(- 3，0)$ ，求直线 $P R$ 的解析式；

(2)、如图 $2$ ，直线 $y = \frac{1}{4} x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $C$ 是双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上的一个动点，点 $A$ 、 $C$ 的横坐标分别为 $m$ 、 $n (0 < n < m)$ ，直线 $B C$ 、 $A C$ 分别与 $x$ 轴于点 $D$ 、 $E$ ；
$①$ 求证：直线 $A C$ 与直线 $B C$ 为“等腰三角线”；
$②$ 过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在直线 $l$ 上存在一点 $F$ ；连接 $E F$ ，当 $∠ E F D = ∠ D C A$ 时，求出线段 $D E + E F$ 的值 $($ 用含 $n$ 的代数式表示 $)$ ．

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22. 如图，在平面直角坐标系中， $A$ 点的坐标为 $(a ， 8)$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $\frac{A B}{O B} = \frac{4}{3}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的一支分别交 $A O$ ， $A B$ 于点 $C$ ， $D$ ，延长 $A O$ 交反比例函数的图象的另一支于点 $E$ ，已知点 $D$ 的纵坐标为 $2$ ．

(1)、求反比例函数的表达式及点 $E$ 的坐标；

(2)、连接 $C D$ ， $O D$ ，求 $S_{△ O C D}$ ；

(3)、在 $x$ 轴上是否存在两点 $M$ ， $N (M$ 在 $N$ 的左侧 $)$ ，使以 $E$ ， $M$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．

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23. 如图1，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = x + b$ 的图象交于 $A ， B$ 两点，已知 $B (2 ， 3)$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、一次函数 $y = x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ （未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若 $S_{△ O C D} = 3$ ，求点 $D$ 的坐标：

(3)、若点 $M$ 是坐标轴上一点，点 $N$ 是平面内一点，是否存在点 $M ， N$ ，使得四边形 $A B M N$ 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图像交于 $A (- 4 ， 1)$ ， $B (m ， 4)$ 两点．（ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $b$ 为常数）

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、将一次函数 $y = k_{1} x + b$ 向下平移 $m$ 个单位后与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图像有且只有一个公共点，求 $m$ 的值；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，若 $△ P A B$ 的面积为 $3$ ，求 $P$ 点的坐标．

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25. 已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为（3，6），反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象经过AB的中点D ，且与BC交于点E ，顺次连接O ， D ， E ．

(1)、求m的值及点E的坐标；

(2)、点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；

(3)、平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ， D ， E ， N四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 如图，点 $A$ 、 $B$ 是一次函数 $y_{1} = {\begin{array}{l} x (x \geq 0) \\ - x (x < 0) \end{array}$ 与反比例函数 $y_{2} = {\begin{array}{l} \frac{4}{x} (x > 0) \\ - \frac{4}{x} (x < 0) \end{array}$ 图象的交点，点 $C$ 在 $x$ 轴上运动，请结合图象解决下列问题：

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 的坐标及 $△ A B O$ 的面积；

(2)、根据图象直接写出当 $x$ 取什么值时， $y_{1} < y_{2}$ ？

(3)、点 $C$ 在 $x$ 轴上运动的过程中，
①直接写出 $A C + B C$ 的最小值：．

② $△ A B C$ 的面积是否发生变化，如果变化，请说明理由；如果不变化，请求出 $△ A B C$ 的面积．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点B的坐标为 $(8 ， 4)$ ， $O A$ ， $O C$ 分别落在x轴和y轴上，将 $△ O A B$ 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 $△ O D E$ ， $O D$ 与 $C B$ 相交于点F，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点F，交 $A B$ 于点G．

(1)、求k的值；

(2)、若点P在坐标轴上运动，求动点P的坐标，使 $S_{△ P F G} = S_{△ B F G}$ ．

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28. 如图，一次函数 $y = k x + b (k > 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C， $A D ⊥ x$ 轴于点D， $C B = C D$ ，点C关于直线 $A D$ 的对称点为点E.

(1)、点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)、连接 $A E$ 、 $D E$ ，若四边形 $A C D E$ 为正方形.点P在y轴上，当 $| P E - P B |$ 最大时，求点P的坐标.

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29. 如图，一次函数 $y = k x - 4$ ( $k \neq 0$ )的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ ( $x < 0$ )的图像交于点 $B (- 6 ， b)$ ．

(1)、b=；k=；

(2)、点 $C$ 是线段 $A B$ 上一点(不与 $A ， B$ 重合)，过点 $C$ 且平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 交该反比例函数的图象于点 $D$ ，连接 $O C ， O D ， B D$ ，若四边形 $O C B D$ 的面积 $S_{四边形 O C B D} = 24$ ，求点 $C$ 的坐标；

(3)、将第（2）小题中的 $Δ O C D$ 沿射线 $A B$ 方向平移一定的距离后，得到 $△ O^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ ，若点 $O$ 的对应点 $O^{'}$ 恰好落在该反比例函数图象上(如图)，求此时点 $D$ 的对应点 $D^{'}$ 的坐标．

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五、实践探究题

30. 综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $B ， C$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象经过点 $A$ ，并与线段 $A B$ 交于点 $E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象经过点 $D$ ， $A D$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ．已知 $A (- 1 ， a) ， B (- 4 ， 0)$ ．

(1)、求点 $D$ 的坐标及反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的表达式；

(2)、直接写出点 $E$ 的坐标；

(3)、如图2，点 $P$ 是 $y$ 轴正半轴上的一个动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，分别交反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ （ $x < 0$ ）与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象于点 $M ， N$ ，设点 $P$ 的坐标为 $(0 ， m)$
①当 $M N = O B$ 时，求 $m$ 的值；
②在点 $P$ 运动过程中，是否存在某一时刻，使 $A E = A P$ ？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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