备考2024年中考数学核心素养专题十四一次函数的动态几何问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，已知 $A D = 3$ ， $C D = 4$ .点P沿折线 $C - A - D$ 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E，则 $△ C P E$ 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为1的正方形，顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上．若直线y＝kx+2与边AB有公共点，则k的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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3. 如图，一次函数 $y = 2 x + 3$ 与y轴相交于点 $A$ ，与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，在直线 $A B$ 上取一点 $P$ （点 $P$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为点 $Q$ ，连结 $P O$ ，若 $△ P Q O$ 的面积恰好为 $\frac{9}{16}$ ，则满足条件的 $P$ 点有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y= $- \frac{1}{2}$ x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (6 ， 0) ， B (0 ， 8)$ ，点 $C$ 从 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $O - A - B$ 运动了 $8.5$ 秒，直线 $x = \frac{7}{4}$ 上有一动点 $D$ ， $y$ 轴上有一动点 $E$ ，当 $O D + D E + E C$ 的和最小时，点 $E$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $(0 ， \frac{7}{8})$ C、 $(0 ， \frac{8}{11})$ D、 $(0 ， \frac{7}{4})$

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6. 如图，直线l的解析式为 $y = - x + 4$ ，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点，点C为线段 $O A$ 上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D，点C从原点O出发，沿 $O A$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以 $C D$ 为斜边作等腰直角三角形 $C D E$ （E，O两点分别在 $C D$ 两侧）．若 $△ C D E$ 和 $△ O A B$ 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、2 D、 $\sqrt{2} - 1$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF $∥$ BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）

A、 $4 < m < 3 + \sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2} < m < 4$ C、 $2 - \sqrt{2} < m < 3$ D、 $4 < m < 4 + \sqrt{2}$

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9. 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，0)，B(5，0)，C(1，4)，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转一定角度后，点C恰好与直线y=-x-1上的点D重合，此时点B恰好与点E重合，则点E的坐标为（）

A、( $\sqrt{15}$ -1， $\sqrt{15}$ +1) B、( $\sqrt{15}$ ， $\sqrt{15}$ +1) C、( $\sqrt{7}$ -1， $\sqrt{7}$ +1) D、( $\sqrt{7}$ ， $\sqrt{7}$ +1)

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10. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与直线 $y = x$ 交于点 $C$ .，在线段 $O A$ 上，动点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度从点 $O$ 出发向点 $A$ 做匀速运动，过点 $P$ 作 $P E ⊥ x$ 轴交直线 $O C$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F / / x$ 轴交直线 $A B$ 于点 $F$ ， $F Q ⊥ x$ 轴于点 $Q$ ，设运动时间为 $t$ 秒，四边形 $P E F Q$ 的面积为 $S$ （点 $P$ ， $Q$ 重合除外），在运动过程中，当 $S = \frac{16}{3}$ 时， $t$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{4 - \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{4 + \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{4 + 4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 + 4 \sqrt{2}}{3}$ 或 $\frac{4 - 4 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

11. 如图，直线y＝﹣ $\frac{4}{3}$ x+8与x轴、y轴分别交于点A、B ，一动点P从点A出发，沿A—O—B的路线运动到点B停止，C是AB的中点，沿直线PC截△AOB ，若得到的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是．

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2 ， 0) ， B (5 ， 0)$ ， C为平面内的动点，且满足 $∠ A C B = 90 °$ ， D为直线 $y = \sqrt{3} x$ 上的动点，则线段 $C D$ 长的最小值为．

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13. 如图，一次函数 $y = - 2 x + 3$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $P$ 在射线 $B A$ 上 $($ 不与 $A$ 、 $B$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足为 $C$ 、 $D .$ 当矩形 $O C P D$ 的面积为 $1$ 时，点 $P$ 的坐标为．

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14. 如图，直线 $A B = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足 $∠ B O P = ∠ O Q P$ ，则当 $∠ P O Q =$ 度时，线段OQ的最小值为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 $y = - x$ 图像上的一个动点，⊙A的半径长为1．已知点B（-4，0），连接AB．当⊙A与两坐标轴同时相切时， $t a n ∠ A B O$ 的值是．

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16. 如图在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + 4$ 的图像分别与y轴和x轴交于点A，点B．定点P的坐标为 $(0 ， 6 \sqrt{3})$ ，点Q是y轴上任意一点，则 $\frac{1}{2} P Q + Q B$ 的最小值为．

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三、作图题

17. 动点型问题是数学学习中的常见问题，解决这类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活运用有关数学知识解决问题．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝10cm，点D在射线CA上从点C出发向点A方向运动（点D不与点A重合），且点D运动的速度为2cm/s，设运动时间为x秒时，对应的△ABD的面积为ycm² ．

(1)、填写下表：

时间x秒

…

2

4

6

…

面积ycm²

…

12

…

(2)、在点D的运动过程中，出现△ABD为等腰三角形的次数有次，请用尺规作图，画出BD（保留作图痕迹，不写画法）；

(3)、求当x为何值时，△ABD的面积是△ABC的面积的 $\frac{1}{4}$ ．

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四、综合题

18. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线 $A \to B \to C$ 方向运动，点F沿折线 $A \to C \to B$ 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)、请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)、结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

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19. 如图，直线 $l_{1} ： y = - 2 x + 4$ 分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 交于点 $P (a ， 2)$ ，与x轴交于点 $C (- 3 ， 0)$ ，点M在线段 $A B$ 上，直线 $M E ⊥ x$ 轴于点E，与 $l_{2}$ 交于点N．

(1)、求直线 $l_{2}$ 的表达式；

(2)、设点M的横坐标为m．
①当 $m = \frac{3}{2}$ 时，求线段 $M N$ 的长；
②若点M，N，E三点中，其中两点恰好关于第三点对称，直接写出此时m的值．

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20. 如图，直线l的解析式为 $y = - x + 4$ ，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为秒 $(0 < t ⩽ 4)$ ．

(1)、求A、B两点的坐标；

(2)、用含t的代数式表示 $△ M O N$ 的面积 $S_{1}$ ．

(3)、以 $M N$ 为对角线作矩形 $O M P N$ ，记 $△ M P N$ 和 $△ A B O$ 重合部分的面积为 $S_{2}$ ．
①当 $2 < t ⩽ 4$ 时，试探究 $S_{2}$ 与t之间的函数关系式．
②在直线m的运动过程中，当t为何值时， $S_{2}$ 为 $△ A B O$ 面积的 $\frac{5}{16}$ ？

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21. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 $y = k x + 15 (k \neq 0)$ 经过点 $C (3 ， 6)$ ，与x轴交于点A ，与y轴交于点B．线段 $C D$ 平行于x轴，交直线 $y = \frac{3}{4} x$ 于点D ，连接 $O C$ ， $A D$ ．

(1)、填空： $k =$ ．点A的坐标是；

(2)、求证：四边形 $O A D C$ 是平行四边形；

(3)、动点P从点O出发，沿对角线 $O D$ 以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线 $O D$ 以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当 $t = 1$ 时，求 $△ C P Q$ 的面积
②当点P ， Q运动至四边形 $C P A Q$ 为矩形时，请求出此时t的值．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x-2与x轴、y轴分别交于点A、点B ，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P ， OC＝OD＝4OA ．

(1)、求直线CD的解析式；

(2)、连接OP、BC ，若直线AB上存在一点Q ，使得S_△_PQC＝S_四边形_OBCP ，求点Q的坐标；

(3)、将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E ，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M ，使以点O ， E ， N ， M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，过点 $C (2 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，与直线 $A B$ 交于点 $D$ ．

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、点 $E$ 是线段 $C D$ 上一动点，直线 $B E$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ ．
$ⅰ)$ 若 $△ B D F$ 的面积为 $8$ ，求点 $F$ 的坐标；
$ⅱ)$ 如图 $2$ ，当点 $F$ 在 $x$ 轴正半轴上时，将直线 $B F$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45 °$ 后的直线与线段 $C D$ 交于点 $M$ ，连接 $F M$ ，若 $O F = M F + 1$ ，求线段 $M F$ 的长．

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24. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ， $O A = 4$ ，与正比例函数 $y = - 3 x$ 的图象交于点 $B$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- 1$ ．

(1)、求一次函数 $y = k x + b$ 的解析式；

(2)、若点 $C$ 在 $y$ 轴上，且满足 $S_{△ B O C} = \frac{1}{2} S_{△ A O B}$ ，求点 $C$ 的坐标；

(3)、一次函数 $y = k x + b$ 有一点 $D$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $1$ ，点 $M$ 为坐标轴上一动点，在函数 $y = - 3 x$ 上确定一点 $N$ ，使得以点 $B$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $N$ 的坐标，并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一个情况的过程．

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25. 如图在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} ： y = - x + 3$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线 $l_{2} ： y = 2 x$ 与直线 $l_{1}$ 交于点P．

(1)、A点坐标为， P点坐标为；

(2)、在线段 $A B$ 上有一个动点M，过M点作直线 $M N ∥ y$ 轴，与直线 $y = 2 x$ 相交于点N，若 $△ P M N$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ ，求M点的坐标．

(3)、若点C为线段 $A B$ 上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 $B (0 ， 9)$ ，与直线OC交于点 $C (8 ， 3)$ ．

(1)、求直线AB的函数表达式；

(2)、过点C作 $C D ⊥ x$ 轴于点D，将 $△ A C D$ 沿射线CB平移得到的三角形记为 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ ，点A，C，D的对应点分别为 $A^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，若 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ 与 $△ B O C$ 重叠部分的面积为S，平移的距离 $C C^{'} = m$ ，当点 $A^{'}$ 与点B重合时停止运动．
①若直线 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ 交直线OC于点E，则线段 $C^{'} E$ 的长为（用含有m的代数式表示）；
②当 $0 < m < \frac{10}{3}$ 时，S与m的关系式为；
③当 $S = \frac{24}{5}$ 时，m的值为．

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27. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于A，B两点，点 $A$ 的坐标为 $(6 ， 0)$ .在 $x$ 轴的负半轴上有一点 $C (- 4 ， 0)$ ，直线AB上有一点 $D$ ，且 $C D =$ OD

(1)、求b的值及点 $D$ 的坐标.

(2)、在线段AB上有一个动点 $P$ ，点 $P$ 的横坐标为 $a$ ，作点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点 $Q$ ，当点 $Q$ 落在 $△ C D O$ 内（不包括边界）时，求 $a$ 的取值范围.

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28. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 5 c m ， B C = 6 c m$ ，点 $P$ 从点A开始沿边 $A B$ 向终点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，与此同时，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向终点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动．点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A ， B$ 同时出发，当点 $Q$ 移动到点 $C$ 时，两点停止移动．设移动时间为 $t s$ ． $(t > 0)$

(1)、填空： $B Q =$ $c m$ ， $P B =$ $c m$ （用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、当 $t$ 为何值时， $P Q$ 的长为 $5 c m$ ？

(3)、是否存在 $t$ 的值，使得 $△ P B Q$ 的面积为 $4 c m^{2}$ ？若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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五、实践探究题

29. 如图

材料一：如图1，由课本91页例2画函数y＝﹣6x与y＝﹣6x+5可知，直线y＝﹣6x+5可以由直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度得到由此我们得到正确的结论一：

在直线l₁：y＝k₁x+b₁与直线l₂：y＝k₂x+b₂中，如果k₁＝k₂且b₁≠b₂ ，那么l₁∥l₂ ，反过来，也成立．

材料二：如图2，由课本92页例3画函数y＝2x﹣1与y＝﹣0.5x+1可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：

在直线l₁：y＝k₁x+b₁与l₂：y＝k₂x+b₂中，如果k₁•k₂＝﹣1，那么l₁⊥l₂ ，反过来，也成立

应用举例

已知直线y＝﹣ $\frac{1}{6}$ x+5与直线y＝kx+2互相垂直，则﹣ $\frac{1}{6}$ k＝﹣1．所以k＝6

解决问题

(1)、请写出一条直线解析式，使它与直线y＝x﹣3平行．

(2)、如图3，点A坐标为（﹣1，0），点P是直线y＝﹣3x+2上一动点，当点P运动到何位置时，线段PA的长度最小？画出图形（保留画图痕迹，不写画法）并求出此时点P的坐标．

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30.

(1)、【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 长为a，则正方形 $A B C D$ 的周长为，面积为（都用含a的代数式表示）．

(2)、【拓展·综合】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P是原点O的“正方形关联点”．若 $P (3 ， 2)$ ，则O、P的“关联正方形”的周长是 ▲ ；若点P在直线 $y = - x + 3$ 上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值是 ▲ ．

②如图2，已知点 $A (- \frac{3}{2} ， \frac{3}{2})$ ，点B在直线 $l ： y = - \frac{3}{4} x + 6$ 上，正方形 $A P B Q$ 是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值．

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时间x秒	…	2	4	6	…
面积ycm²	…	12			…

备考2024年中考数学核心素养专题十四 一次函数的动态几何问题

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、综合题

五、实践探究题

备考2024年中考数学核心素养专题十四一次函数的动态几何问题