备考2024年中考数学核心素养专题十三定值问题

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如果a，b为定值时，关于x的方程 $\frac{3 k x + a}{2} - \frac{x + b k}{4}$ =1，无论k为何值时，它的根总是2，则a+b的值为（）

A、18 B、15 C、12 D、10

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2. 如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中 $A$ 是正方形， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 都是长方形，这五个四边形的周长分别用 $l_{A}$ ， $l_{B}$ ， $l_{C}$ ， $l_{D}$ ， $l_{E}$ 表示，则下列各式的值为定值的是（）

A、 $l_{A}$ B、 $l_{B} + l_{D}$ C、 $l_{A} + l_{B} + l_{D}$ D、 $l_{A} + l_{C} + l_{E}$

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3. 如图，长为 $y (c m)$ ，宽为 $x (c m)$ 的大长方形被分割为 $7$ 小块，除阴影 $A$ ， $B$ 外，其余 $5$ 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $4 c m$ ，下列说法中正确的有（）

      $①$ 小长方形的较长边为 $(y - 12) c m$ ；

      $②$ 阴影 $A$ 的较短边和阴影 $B$ 的较短边之和为 $(x - y + 4) c m$ ；

      $③$ 若 $x$ 为定值，则阴影 $A$ 和阴影 $B$ 的周长和为定值；

      $④$ 当 $x = 20$ 时，阴影 $A$ 和阴影 $B$ 的面积和为定值．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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4. 如图，在边长为 $8$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $B D$ 上一点，且 $B E = B C$ ，点 $P$ 是 $C E$ 上一动点，则点 $P$ 到边 $B D$ ， $B C$ 的距离之和 $P M + P N$ 的值（）

A、是定值 $4 \sqrt{2}$ B、是定值 $8$ C、有最小值 $4 \sqrt{2}$ D、有最大值 $8$

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5. 如图， $E$ 在线段 $B A$ 的延长线上， $∠ E A D = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $E F / / H C$ ，连接 $F H$ 交 $A D$ 于点 $G$ ， $∠ F G A$ 的余角比 $∠ D G H$ 大 $16 °$ ， $K$ 为线段 $B C$ 上一点，连接 $C G$ ， $G K$ ，使 $∠ C K G = ∠ C G K$ ，在 $∠ A G K$ 内部有射线 $G M$ ， $G M$ 平分 $∠ F G C$ ，则下列结论： $① A D / / B C$ ； $② G K$ 平分 $∠ A G C$ ； $③ ∠ D G H = 37 °$ ； $④ ∠ M G K$ 的角度为定值且定值为 $16 °$ ，其中正确结论的个数有（）

A、 $4$ 个 B、 $3$ 个 C、 $2$ 个 D、 $1$ 个

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6. 如图， $▱ A B C D$ 在第一象限内，点A是一次函数 $y = x$ 图象上一动点，点B，C的坐标分别是 $(b ， 1)$ ， $(b + 1 ， 2)$ ，若反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（）

A、 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ B、 $k_{2} - k_{1}$ C、 $k_{2} + k_{1}$ D、 $\sqrt{k_{2}} - \sqrt{k_{1}}$

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7. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是定值9；③△DFE的面积最小值为4.5；④DE长度的最小值为3.其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，G是对角线 $B D$ 上一动点， $G E ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $G F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，给出四种情况：
①若G为 $B D$ 的中点，则四边形 $C E G F$ 是正方形；②若G为 $B D$ 上任意一点，则 $A G = E F$ ；③点G在运动过程中， $G E + G F$ 的值为定值4；④点G在运动过程中，线段 $E F$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、①③④

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9. 如图，在边长为a的正方形 $A B C D$ 中，E是对角线 $B D$ 上一点，且 $B E = B C$ ，点P是 $C E$ 上一动点，则点P到边 $B D$ ， $B C$ 的距离之和 $P M + P N$ 的值（）

A、有最大值a B、有最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ C、是定值a D、是定值 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$

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10. 已知无论 $x$ ， $y$ 取什么值，多项式 $(3 x^{2} - m y + 9) - (n x^{2} + 5 y - 3)$ 的值都等于定值12，则 $m + n$ 等于（）．

A、8 B、 $- 2$ C、2 D、 $- 8$

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11. 如图，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于 $A ， B$ 两点， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ 。下列结论：① $O A = O B$ ；② $△ A B C$ 的面积为定值；③ $D$ 是 $A C$ 的中点；④ $S_{△ A O D} = \frac{1}{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = B D$ ，点E，F分别是边 $A B ， A D$ 上任意点（不与端点重合），且 $A E = D F$ ，连接 $B F ， D E$ 相交于点G，连接 $C G$ 与 $B D$ 相交于点H，下列结论：① $△ A E D ≌ △ D F B$ ；② $∠ B G E$ 的大小为定值；③ $C G$ 与 $B D$ 一定不垂直；④若 $A F = 2 D F$ ，则 $B G = 6 G F$ ，其中正确的结论有（）

A、①② B、①②④ C、③④ D、①③④

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系xOy中，P ， Q是函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上异于A（1，1）的点，直线PQ与直线y＝x垂直，分别交x轴，y轴于点M ， N ．现给出以下结论：
①MP＝NQ；
②∠PAQ可能是直角；
③MN²﹣PQ²为定值；
④△MON的面积可能为2．
其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）

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14. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = k + 2 \\ 2 x - 3 y = 3 k - 1 \end{array}$ ，无论k取何值， $x + 9 y$ 的值都是一个定值，则这个定值为．

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15. 若 $a$ 、 $b$ 为定值，关于 $x$ 的一次方程 $\frac{2 k x + a}{3} - \frac{x - b k}{6} = 2$ 无论 $k$ 为何值时，它的解总是 $x = 1$ ，则 $(2 a + 3 b)^{2022}$ 的值为．

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16. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 2 k \\ x - 2 y = k + 6 \end{array}$ 有下列说法：①当x与y相等时，解得 $k = - 4$ ；②当x与y互为相反数时，解得 $k = 3$ ；③若 $4^{x} \cdot 8^{y} = 32$ ，则 $k = 11$ ；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式 $x + 5 y + 12 = 0$ ，其中正确的序号是．

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17. 如图，点 $P$ 为定角 $∠ A O B$ 的平分线上的一个定点，且 $∠ M P N$ 与 $∠ A O B$ 互补，若 $∠ M P N$ 在绕点 $P$ 旋转的过程中，其两边分别与 $O A$ 、 $O B$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，则以下结论：① $P M = P N$ 恒成立；② $O M + O N$ 的值不变；③四边形 $P M O N$ 的面积不变；④ $M N$ 的长不变，其中正确的序号为．

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18. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎祥变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为．

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19. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 中，点E为 $A D$ 边上动点（不与A、D重合），连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ E B H$ ，延长 $E H$ 交 $C D$ 于点F，连接 $B F$ ，交 $A C$ 于点N，连接 $C H$ ．则下列结论：① $∠ E B F = 45 °$ ；② $△ D E F$ 的周长是定值2；③当点E是 $A D$ 中点时， $C N = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ；④点D到 $E F$ 距离的最大值为 $\sqrt{2} - 1$ ，其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．

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三、综合题

20. 项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘（质量忽略不计），测得物品质量x（kg）与可变电阻y（Ω）的多组对应值，画出函数图象（如图1）.图2是三种测量方案，电源电压恒为8V，定值电阻为30Ω，与可变电阻串联.

【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流I相等， $I = \frac{U}{R}$ .可变电阻、定值电阻两端的电压之和为8V，则有 $I (y + 30) = 8$ .

(1)、求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

(2)、三个托盘放置不同物品后，电表A，

V_{0}

，

V_{1}

的读数分别为0.1A，6V，4V.请从以下方案中选择一个，求出对应物品的质量是多少kg？

(3)、小明家买了某散装大米65kg，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重，用方案一、二、三来进行检验，设大米为

a (60 < a \leq 65) k g

，前两次称合适的千克数，第3次用含a的代数式表示，请填写下表.

	第1次（方案一）	第2次（方案二）	第3次（方案三）
大米（kg）
读数	I＝ A	$V_{0}$ ＝ V	$V_{1} \geq$ V

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21. 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一条边长为7.5 cm时，它的邻边长为8 cm.

(1)、设矩形相邻的两条边长分别为x cm，y cm，求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗?

(2)、若其中一个矩形的一条边长为5 cm，求这个矩形与之相邻的另一条边长.

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22. 已知代数式 $x^{2} - 6 x + 11$ ，先用配再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数．

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23. 定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数 $y = 2 x$ 图象关于3的“恒值点”．

(1)、判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数 $y = 5 x - 2$ 图象关于10的“恒值点”．

(2)、如图1，抛物线 $y = 2 x^{2} + b x + 2$ 与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
Ⅰ.求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）

Ⅱ.当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．

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24. 对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p ，当其自变量的值为p时，其函数值等于p ，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，下图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．

(1)、下列函数①y＝2x ， ②y＝x²+1，③y＝x²﹣2x中存在不动值的是（填序号）

(2)、函数y＝3x²+bx ，
①若其不动长度为0，则b的值为；

②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；

(3)、记函数y＝x²﹣4x（x≥t）的图象为G₁ ，将G₁沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G₂ ，函数G的图象由G₁和G₂两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为．

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25. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“雅心点”，例如点（ $- 1$ ， 1），（0，0），（ $\sqrt{2}$ ， 2），…都是“雅心点”，显然，这样的“雅心点”有无数个.

(1)、求一次函数 $y = x + 2$ 上的所有“雅心点”的坐标为；

(2)、若过点（1， $- 3$ ）的直线上恰好只有一个“雅心点”，请求出符合要求的直线解析式；

(3)、若二次函数 $y = a x^{2} - 6 a x + 9 a - 1$ （a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“雅心点”，且“雅心点”的横坐标的值都不大于2，试求实数a的取值范围.

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26. 我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”.

(1)、如图（1），已知立信△ABC中“立信长” $A B = 2$ ， “立信角” $∠ A C B = 90 °$ ，请直接写出立信△ABC面积的最大值；

(2)、如图（2），在△ABD中， $A D = B D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角 $∠ A C B = 60 °$ ，求立信△ABC面积的最大值；

(3)、如图（3），已知立信长 $A B = a$ （a是常数且 $a > 0$ ），点C是平面内一动点且满足立信角 $∠ A C B = 120 °$ ，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由.

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27. 在正方形 $A B C D$ 中，等腰直角 $△ A E F$ ， $∠ A F E = 90 °$ ，连接 $C E$ ，H为 $C E$ 中点，连接 $B H$ 、 $B F$ 、 $H F$ ，发现 $\frac{B F}{B H}$ 和 $∠ H B F$ 为定值.

(1)、① $\frac{B F}{B H} =$ ▲ ；
② $∠ H B F =$ ▲ .

③小明为了证明①②，连接 $A C$ 交 $B D$ 于O ，连接 $O H$ ，证明了 $\frac{O H}{A F}$ 和 $\frac{B A}{B O}$ 的关系，请你按他的思路证明①②.

(2)、小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， $\frac{B D}{A D} = \frac{E A}{F A} = k$ ， $∠ B D A = ∠ E A F = θ$ （ $0 ° < θ < 90 °$ ）
求① $\frac{F D}{H D} =$ （用k的代数式表示）

② $\frac{F H}{H D} =$ （用k、 $θ$ 的代数式表示）

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28. 探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线 $A B$ 上的三点 $A (1 ， 3)$ ， $B (2 ， 5)$ ， $C (4 ， 9)$ ，有 $k_{A B} = \frac{5 - 3}{2 - 1} = 2$ ， $k_{A C} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ ， $k_{A B} = k_{A C}$ ，兴趣小组提出猜想：若直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 上任意两点 $P (x_{1} ， y)$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $k_{P Q} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 是定值.通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立， $k_{P Q}$ 是定值，并且是直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 中的 $k$ ，叫做这条直线的斜率.

(1)、请你应用以上规律直接写出过 $S (- 2 ， - 2)$ ， $T (4 ， 2)$ 两点的直线 $S T$ 的斜率 $k_{S T} =$ .

(2)、探究活动二：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.
如图2，直线 $D E$ 与直线 $D F$ 垂直于点 $D$ ，且 $D (2 ， 2)$ ， $E (1 ， 4)$ ， $F (4 ， 3)$ .请求出直线 $D E$ 与直线 $D F$ 的斜率之积.并写出你发现的结论.

(3)、综合应用：
如图3， $M (1 ， 2)$ ， $N (4 ， 5)$ ，请结合探究活动二的结论，求出过点 $N$ 且与直线 $M N$ 垂直的直线的解析式.

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29. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过点K越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为h（m）（为定值）.设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离之间的函数关系式为y=ax²+bx+c（a≠0）.

(1)、 $c$ 的值为.

(2)、若运动员落地点恰好到达 $K$ 点，且此时 $a =$ $- \frac{1}{50} ， b = \frac{9}{10}$ ，求基准 $K$ 点的高度 $h$ .

(3)、若 $a = - \frac{1}{50}$ 时，运动员落地点要超过点 $K$ ，则 $b$ 的取值范围是.

(4)、若运动员飞行的水平距离为 $25 m$ 时，恰好达到最大高度 $76 m$ ，试判断他的落地点能否超过点 $K$ ，并说明理由.

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四、实践探究题

30. 【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．
【探究】可做如下尝试：
y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．
【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ▲ ；
【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．
①点P的坐标是 ▲ ；
②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．

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31. 阅读材料：
对于两个正数a、b，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （当且仅当a＝b时取等号）.

当 $a b$ 为定值时， $a + b$ 有最小值；当 $a + b$ 为定值时， $a b$ 有最大值.

例如：已知 $x > 0$ ，若 $y = x + \frac{1}{x}$ ，求 $y$ 的最小值.

解：由 $a + b$ ≥ $2 \sqrt{a b}$ ，得 $y = x + \frac{1}{x}$ ≥ $2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \times \sqrt{1} = 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 即 $x = 1$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $2$ .

根据上面的阅读材料回答下列问题：

(1)、已知 $x > 0$ ，若 $y = 4 x + \frac{9}{x}$ ，则当 $x =$ 时， $y$ 有最小值，最小值为；

(2)、已知 $x > 3$ ，若 $y = x + \frac{9}{x - 3}$ ，则 $x$ 取何值时， $y$ 有最小值，最小值是多少？

(3)、用长为 $100 m$ 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

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32. （发现问题）
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？

（解决问题）

小明尝试从函数图象的角度进行探究：

(1)、建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则x $\cdot$ y＝4，2（x＋y）＝m，

即 $y = \frac{4}{x}$ ， $y = - x + \frac{m}{2}$ ，那么满足要求的（x，y）应该是函数 $y = \frac{4}{x}$ 与 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象在第象限内的公共点坐标.

(2)、画出函数图象
①画函数 $y = \frac{4}{x}$ （x＞0）的图象；

②在同一直角坐标系中直接画出 $y = - x$ 的图象，则 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象可以看成是由 $y = - x$ 的图象向右平移 ▲ 个单位长度得到.

(3)、研究函数图象：平移直线 $y = - x$ ，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 $y = \frac{4}{x}$ （x＞0）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ▲ ，周长m的值为 ▲ ；

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围.

(4)、（结论运用）面积为10的矩形的周长m的取值范围为.

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33. 对于任意正实数， ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， $∴ a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， $∴ a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有 $a = b$ 时，等号成立.结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ (，均为正实数）中，若为定值，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，a+b有最小值 $2 \sqrt{p}$ .根据上述内容，回答下列问题：

(1)、初步探究：若 $n > 0$ ，只有当 $n =$ 时，有 $n + \frac{1}{n}$ 最小值；

(2)、深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，并指出等号成立时的条件；

(3)、拓展延伸：如图，已知 $A (-6 ， 0)$ ， $B (0 ， -8)$ ，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标.

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一、选择题

二、填空题

三、综合题

四、实践探究题

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