备考2024年中考数学探究性训练专题26 图形的投影

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论：
⑴若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；
⑵用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；
⑶用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中∠ABC＝45°；
⑷如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是a，最多是b，则a＋b＝19
其中正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，小亮用6个相同的小正方体搭成一个立体图形，研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，其三视图中不改变的是（）

A、主视图 B、主视图和左视图 C、主视图和俯视图 D、左视图和俯视图

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二、作图题

3. 画图，探究：

(1)、一个正方体组合图形的主视图、左视图（如图1）所示．
①这个几何体可能是（图2）甲、乙中的；

②这个几何体最多可由个小正方体构成，请在图3中画出符合最多情况的一个俯视图．

(2)、如图，已知一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图．
①画线段AB，射线AD；

②找一点M，使M点即在射线AD上，又在直线BC上；

③找一点N，使N到A、B、C、D四个点的距离和最短．

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4. 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为 $1.6 m$ 的小明 $(A B)$ 的影子 $B C$ 长是 $3 m$ ，而小颖 $(E H)$ 刚好在路灯灯泡的正下方 $H$ 点，并测得 $H B = 6 m$ .

(1)、请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置 $G$ ；

(2)、求路灯灯泡的垂直高度 $G H$ ；

(3)、如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B₁处时，请在图中画出此时小明的影长B₁C₁ ，并求B₁C₁的长；

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三、解答题

5. 用若干个小立方块搭成一个几何体，使它从正面看与从左面看都是如图的同一个图．通过实际操作，并与同学们讨论，解决下列问题：

(1)、所需要的小立方块的个数是多少？你能找出几种？

(2)、画出所需个数最少和所需个数最多的几何体从上面看到的图，并在小正方形里注明在该位置上小立方块的个数．

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6.
在生活中需测量一些球的足球、篮球）的直径．某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°．请你计算出球的直径（精确到1cm）．

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7. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑 $A B$ 的高度.如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端 $D$ 处竖立一根高2米的标杆 $C D$ ，此时测得标杆 $C D$ 的影子 $D E$ 为2米；然后，在 $H$ 处竖立一根高2.5米的标杆 $G H$ ，小婷从 $H$ 处沿 $B H$ 后退0.8米到 $N$ 处恰好看到点 $G$ 、 $A$ 在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离 $M N = 1.5$ 米， $D N = 24$ 米，已知 $C D ⊥ E N$ ， $A B ⊥ E N$ ， $G H ⊥ E N$ ， $M N ⊥ E N$ ，点 $E$ 、 $D$ 、 $B$ 、 $H$ 、 $N$ 在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑 $A B$ 的高度.

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8. 在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为 $0.8 m$ ，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离 $E F = 10 m$ ，旗杆在教学楼墙上的影长 $F G = 1.5 m$ ，求旗杆 $D E$ 的高.

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9.
一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （注：图1中∠CBE=α，图2中BQ=3dm）．
探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，其三视图及尺寸如图2所示，那么：图1中，液体形状为（填几何体的名称）；利用图2中数据，可以算出图1中液体的体积为 dm³ ．（提示：V=底面积×高）
拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，若液面与棱C′C或CB交于点P、点Q始终在棱BB′上，设PC=x，请你在下图中把此容器主视图补充完整，并用含x的代数式表示BQ的长度．

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10. 【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系．等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等．

(1)、【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“30°角所对的直角边等于斜边的一半”．并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求证：BC= $\frac{1}{2}$ AB．

(2)、【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图2①所示，方桌的主视图如图2②．经测得OA=OB=90cm，OC=OD=30cm，将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB=120°．求：桌面与地面的高度．

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11. 小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：

(1)、如图1，白天在阳光下，小彬将木杆 $A B$ 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 $A^{'} B^{'}$ .
①若木杆 $A B$ 的长为 $1 m$ ，则其影子 $A^{'} B^{'}$ 的长为 $m$ ；

②在同一时刻同一地点，将另一根木杆 $C D$ 直立于地面，请画出表示此时木杆 $C D$ 在地面上影子的线段 $D M$ ；

(2)、如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆 $E F$ 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 $E^{'} F^{'}$ .
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点 $P$ ；

②若木杆 $E F$ 的长为 $1 m$ ，经测量木杆 $E F$ 距离地面 $1 m$ ，其影子 $E^{'} F^{'}$ 的长为 $1.5 m$ ，则路灯 $P$ 距离地面的高度为 $m$ .

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12. 【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．

【操作探究】

(1)、图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？（填序号）．

(2)、小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为 $2 dm$ 的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；

②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加个正方体纸盒．

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13. 综合与实践
问题情境：在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其它正方体，使拼成的立体图形为一个长方体．如图1，是两个棱长为1的正方体搭成的长方体，图2是从上面看这个长方体得到的平面图形，它由两个正方形组成．

操作探究：

(1)、如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体，请画出从上面看这个长方体得到的平面图形；

(2)、已知一个长方体是按上述方式拼成的，组成它的正方体约10个，且若从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择哪题．
A．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形）
B．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形，并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数）

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14. 根据信息，完成活动任务.
活动一探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系.
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
$A B$ 的长（cm）
$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$B C$ 的长（cm）
$15$
30
$45$
$60$
$75$
$s i n ∠ B C D$
$0.8$
$0.8$
$0.8$
$0.8$
$0.8$

(1)、【任务1】如图2，作 $B H ⊥ C D$ 于点 $H$ ，设 $B H = y (c m)$ ， $A B = x (c m)$ ，求y关于x的函数表达式.

(2)、活动二设计该地房子的数量与层数.
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示.现要求每幢楼层数不超过 $24$ ，每层楼高度为3米.
【任务2】当1号楼层数为 $24$ 时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上.

(3)、【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格.
①所有房子层数总和超过 $160$ .
②正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上.
方案设计
每幢楼层数
n的值
层数总和

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$A B$ 的长（cm）	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$B C$ 的长（cm）	$15$	30	$45$	$60$	$75$
$s i n ∠ B C D$	$0.8$	$0.8$	$0.8$	$0.8$	$0.8$

方案设计
每幢楼层数	n的值	层数总和