备考2024年中考数学探究性训练专题23 图形的旋转

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为4，点E在边 $A D$ 上运动，在 $B E$ 的左侧作等腰直角三角形 $B E F$ ， $∠ B E F = 90 °$ ，连接 $A F$ .喜欢探究的小亮通过独立思考，得到以下两个结论：①当点E与点D重合时， $A F = 4$ ；②当线段 $A F$ 最短时， $A E = 2$ .下列判断正确的是（）

A、①，②都正确 B、①，②都错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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二、填空题

2. 一副三角板如图所示，叠放在一起.若固定△AOB，将△ACD绕着公共点A按顺时针方向旋转α度(0＜α＜180).请你探索，当△ACD的一边与△AOB的一边平行时，相应的旋转角α的度数.

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3. 如图，Rt△BAC ， ∠ACB=30°，∠BAC=90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：

(1)、这个旋转角=°；

(2)、此时， $\frac{B^{'} C}{B C^{'}} =$ ．

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4. 如图， $E$ 是正方形 $A B C D$ 内点，且 $∠ B E C = 90 °$ ，将 $Δ B E C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到 $Δ B F A$ ，连接 $E F$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，请完成下列探究：

(1)、 $∠ A F E$ 的度数为 $°$ ；

(2)、若 $A D = 5$ ， $A F = 4$ ，则 $A P$ 的长为.

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5. 四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG， $B D = 10$ ， $A D = 8$ ，试探究：

(1)、如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为；

(2)、如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设 $△ E O F$ 的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为．

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=-x(x-3)(0≤x≤3) 在x轴上方部分记作C₁ ，它与x轴交于点O，A₁ ，将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ， C₂与x 轴交于另一点A₂ ．继续操作并探究：将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ，与x 轴交于另一点A₃；将C₃绕点A ₂旋转180°得C₄ ，与x 轴交于另一点A₄ ，这样依次得到x轴上的点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ， …，及抛物线C₁ ， C₂ ， …，C_n ， …．则点A₄的坐标为；C_n的顶点坐标为(n为正整数，用含n的代数式表示) ．

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三、理论探究题

7. 问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点E是射线 $C D$ 上一点（不与点C重合），连接 $B E$ ，将 $B E$ 绕点E顺时针旋转 $90 °$ 得到 $F E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、特例分析：如图1，当点E与点D重合时，则 $∠ A D F$ =；

(2)、深入谈及：当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；

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8.

(1)、【模型感知】如图①，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），连接BE ，将线段BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BE'，连接AE^' ，求证：AE'＝CE；

(2)、【模型发展】如图②，在正方形ABCD中，点E是对角线CA的延长线上的一点，连接BE ，将线段BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BE'，连接AE'，线段AE^'与CE的数量关系为， AE'与CE所在直线的位置关系为（不需证明）；

(3)、【解决问题】如图③，在正方形ABCD中，点E是对角线AC延长线上的一点，连接BE ，将线段BE绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE'，连接AE'，EE'，若AC＝3CE ，则 $\frac{S_{Δ A E E^{^{'}}}}{S_{Δ A B E}}$ ＝．

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9. 如图①．四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．

(1)、操作发现：如图②．正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点E落在边AD上时．填空：
①线段BE与IG的数量关系是
②∠ABE与∠ADG的关系是

(2)、猜想与证明：如图③，正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转某一角度α（0<α< 90°）时．猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论：

(3)、拓展应用：如图④．正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点F落在边AD上时，若AB= $2 \sqrt{2}$ ． AF=1，则BE=

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E、F分别是边 $C D$ 、 $B C$ 上的两点，且 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 、 $A F$ 分别交正方形的对角线 $B D$ 于G、H两点，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转90°后，得到 $△ A B Q$ ，连接 $E F$ ．

(1)、求证： $F A$ 平分 $∠ Q A E$ ；

(2)、求证： $E F = B F + D E$ ；

(3)、试试探索 $B H$ 、 $H G$ 、 $G D$ 三条线段间的数量关系，并加以证明．

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11. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E ， F分别在正方形ABCD的边BC ， CD上，∠EAF＝45°，连接EF ，则EF＝BE＋DF ，试说明理由．

(1)、思路梳理
∵AB＝CD ， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°∠FDG＝180°，∴点F ， D ， G共线．根据（从“SSS ， ASA ， AAS ， SAS”中选择填写），易证△AFG≌ ，得EF＝BE＋DF ．

(2)、类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠BAD＝90°，点E ， F分别在边BC ， CD上，∠EAF＝45°．若∠B ， ∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF＝BE＋DF ．

(3)、联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，点D ， E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD ， DE ， EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

(4)、思维深化
如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC ，点D ， E均在直线BC上，点D在点E的左边，且∠DAE＝30°，当AB＝4，BD＝1时，直接写出CE的长．

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12. 【问题情境】
如图 $1$ ，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t △ A B E$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ C B E' ($ 点 $A$ 的对应点为点 $C) .$ 延长 $A E$ 交 $C E'$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ．

(1)、四边形 $B E' F E$ 的形状是；

(2)、 $【解决问题】$ 若 $C F = 3$ ， $B E = 3 C F$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积为；

(3)、 $【猜想证明】$ 如图 $2$ ，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $F E$ 的数量关系并加以证明．

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13. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE ．

(1)、探索发现：
图1中， $\frac{A B}{B C}$ 的值为， $\frac{A D}{B E}$ 的值为．

(2)、拓展探究
若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中 $\frac{A D}{B E}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

(3)、问题解决
当△CDE旋转至A ， D ， C三点共线时，直接写出线段BE的长．

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14. 【发现证明】如图(1)所示，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，在判断BE，EF，FD之间的数量关系时，小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD.

(1)、【类比引申】
如图(2)所示，点E，F分别在正方形ABCD的边CB，CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；

(2)、【联想拓展】
如图(3)所示，∠BAC=90°，AB=AC，点E，F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长.

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15. 把两个等腰直角三角形 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 按图①所示的位置摆放，将 $△ D E C$ 绕点C逆时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ）到图②所示位置，连接 $A D$ ， $B E$ ．

(1)、特例问题：如图①， $A D$ 与 $B E$ 的数量关系是， $A D$ 与 $B E$ 的位置关系是；

(2)、探索解决：如图②，（1）中 $A D$ 与 $B E$ 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、拓展应用：如图③，点D在 $△ A B C$ 内部，若 $∠ A D C = 135 °$ ， $A D = 1$ ， $C D = 2$ ，求线段 $B D$ 的长．

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16. 已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，点 $A$ 、点 $C$ 的对应点分别是点 $A^{'}$ 、点 $C^{'}$ ．

(1)、感知：如图①，当 $B C^{'}$ 落在 $A B$ 边上时， $∠ A A^{'} B$ 与 $∠ C C^{'} B$ 之间的数量关系是：(不需要证明)；

(2)、探究：如图②，当 $B C^{'}$ 落在 $A B$ 的左侧时， $∠ A A^{'} B$ 与 $∠ C C^{'} B$ 是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；

(3)、应用：如图③，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A A^{'}$ 、 $C C^{'}$ 交于点 $E$ ，则 $∠ A^{'} E C^{'} =$ 度．

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17. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 $77$ 页的部分内容．
如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点，根据画出的图形，可以猜想： $D E / / B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
对此，我们可以用演绎推理给出证明 $. ($ 无需证明 $)$

(1)、【感知】如图 $①$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 4$ ， $A D$ 、 $C E$ 是 $R t △ A B C$ 的中线， $M$ 、 $N$ 分别是 $A D$ 和 $C E$ 的中点，求 $M N$ 的长；

(2)、【应用】如图 $②$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转一定的角度 $α (0 ° < α < ∠ B A C)$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{B D}{C E} =$ ；

(3)、【拓展】如图 $③$ ，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是射线 $B C$ 上一动点 $($ 点 $D$ 在点 $C$ 右侧 $)$ ，连接 $A D$ ，把线段 $C D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $120 °$ 得到线段 $D E$ ，连接 $B E$ ， $F$ 是 $B E$ 中点，连接 $D F$ 、 $C F$ ，若 $A B = 8$ ， $C F = \frac{1}{2} C D$ ，则 $C F =$ ．

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18.

(1)、【性质探究】如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， AB＝AC ，点D在斜边BC上，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE．
①直线BD与CE的位置关系为；
②若点F为BE的中点，连接AF ，请探究线段AF与CD的数量关系，并给予证明．

(2)、【拓展应用】
如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG ，连接BG，点H为BG的中点，连接AH ．若AB＝4，BE＝3，求AH的长．

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19. 综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC 上，GE⊥BC ，垂足为E ， GF⊥CD ，垂足为F ．

(1)、【证明与推断】
①四边形CEGF的形状是 ▲；
② $\frac{A G}{B E}$ 的值为 ▲；

(2)、【探究与证明】
在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°<α<45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展与运用】
如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF 在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．

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20. 综合与实践：

(1)、问题情景：如图1，已知等边 $△ A B C$ 和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转 $60 °$ 得到线段BE，连接DE，CE，射线AD，CE交于点F，则AD与CE数量关系是， $∠ A F C =$ .（填空）

(2)、类比探究：如图2，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D是AC边上一点，过点D作 $D E ∥ C B$ 交AB于点E，将 $△ A D E$ 绕点A旋转得到 $△ A D^{'} E^{'}$ ，连接 $C D^{'}$ ， $B E^{'}$ ，在旋转的过程中，设直线 $C D^{'}$ ， $B E^{'}$ 交于点F，探索 $C D^{'}$ 和 $B E^{'}$ 的数量关系和 $∠ B F C$ 的度数；

(3)、拓展应用：如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 1$ ，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，若 $C D = 2 \sqrt{2}$ ，求线段的AB长（直接写出答案）.

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21.

(1)、问题提出
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点M为 $△ A B C$ 内一点，将线段 $A M$ 绕点A按逆时针方向旋转 $∠ B A C$ 的度数得到 $A N$ ，连接 $N C$ ， $B M$ ，则 $∠ N C A$ 与 $∠ M B A$ 的数量关系为， $M B$ 与 $C N$ 的数量关系为．

(2)、问题解决
如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 75 °$ ， $A B = A C = 8$ ，过B点的射线 $B D$ 交 $A C$ 边于点D ，且 $∠ A B D = 45 °$ ， M为射线 $B D$ 上一动点，连接 $A M$ ，将 $A M$ 绕点A逆时针旋转 $75 °$ ，得到 $A N$ ，连接 $N C$ ，当 $△ A N C$ 为直角三角形时，求 $B M$ 的长．

(3)、拓展探究
如图3，矩形 $A B C D$ 中， $C D = 2$ ， $∠ D A C = 30 °$ ， E为直线 $A C$ 上动点，将 $D E$ 绕D逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $D F$ ，连接 $B F$ ，则 $B F$ 的最小值为．（直接写出结果）

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22. 综合与实践
问题情境：如图1，正方形 $A B C D$ 和正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ 有公共顶点 $A$ ， $A B = 2 \sqrt{2} + 2$ ， $A B_{1} = 2$ ，现将正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，连接 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ ．

图1图2图3

(1)、猜想证明：猜想图2中 $D D_{1}$ 与 $B B_{1}$ 的数量关系并证明；

(2)、探究发现：如图3，当 $α = 90 °$ 时，连接 $B D$ ，延长 $D D_{1}$ 交 $B B_{1}$ 于点 $E$ ，求证： $D E$ 垂直平分 $B B_{1}$ ；

(3)、拓展延伸：在旋转过程中，当 $△ B B_{1} D$ 的面积最大时，直接写出此时旋转角 $α$ 的度数和 $△ B B_{1} D$ 的面积．

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23. 已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠MAN的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠MAN = 60*．

(1)、[初步感知]
当E是线段CB的中点时（如图①），AE与EF的数量关系为

(2)、[深入探究]
如图②，将图①中的∠MAN绕点A顺时针旋转α（0°<α< 30°），（1）中的结论还成立吗？说明理由；

(3)、[拓展应用]
如图③，将图①中∠MAN绕点A继续顺时针旋转，当α= 45°时，直接写出EB的长．

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24.

(1)、特殊情景：如图 $(1)$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ，以点 $A$ 为顶点作一个角，角的两边分别交 $B C$ ， $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，连接 $E F$ ，若 $∠ B A D = ∠ B = ∠ D = 90 °$ ，探究：线段 $B E$ ， $D F$ ， $E F$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2)、类比猜想：类比特殊情景，在上述 $(1)$ 条件下，把“ $∠ B A D = ∠ B = ∠ D = 90 °$ ”改成一般情况“ $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， ”如图 $(2)$ ，小明猜想：线段 $B E$ ， $D F$ ， $E F$ 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请写出理由．

(3)、解决问题：如图 $(3)$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ，点 $D$ ， $E$ 均在边 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 °$ ，若 $B D = \sqrt{2}$ ，计算 $D E$ 的长度．

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25. 问题解决
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边 $△ A B C$ 内的一点， $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ .你能求出 $∠ A P B$ 的度数和等边 $△ A B C$ 的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
如图①将 $△ B P C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ B P^{'} A$ ，连接 $P P^{'}$ ，可得 $△ B P P^{'}$ 是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 $△ A P^{'} P$ 是直角三角形，从而使问题得到解决.

(1)、结合小明的思路完成填空： $P P^{'} =$ ， $∠ A P P^{'} =$ ， $∠ A P B =$ ， $S_{△ A B C} =$ .

(2)、类比探究
①.如图②，若点P是正方形 $A B C D$ 内一点， $P A = 1$ ， $P B = 2$ ， $P C = 3$ ，求 $∠ A P B$ 的度数和正方形的面积.
②.如图③，若点P是正方形 $A B C D$ 外一点， $P A = 3$ ， $P B = 1$ ， $P C = \sqrt{11}$ ，求 $∠ A P B$ 的度数和正方形的面积.

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26. 如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．易证四边形CEGP是正方形．

(1)、推断， $\frac{A G}{B E}$ 的值为；

(2)、探究与证明：将正方形CEGP绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段NG与BE之间的数量关系，并说明理由：

(3)、拓展与运用：正方形CECF在旋转过程中，当B，E，P三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH= $2 \sqrt{2}$ ．则BC=

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27. 综合与实践

(1)、问题提出
如图①，在 $R t △ A B C$ 与 $R t △ D E C$ 中， $∠ A B C = ∠ D E C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，连接 $A D$ ，点 $E$ 在边 $A C$ 上，点 $F$ 为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ， $B F$ ， $E F$ ，则 $△ B E F$ 的形状是．

(2)、问题探究
如图②，将图①中的 $△ D E C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转，使点 $D$ 落在 $A C$ 边上，试判断 $B E$ ， $B F$ ， $E F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、拓展延伸
在图②中，若 $C E = m$ ， $\frac{C D}{B C} = \frac{4}{5}$ ，将 $△ D E C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转，当点 $D$ 在线段 $A E$ 上时，求线段 $B F$ 的长（用含 $m$ 的式子表示）．

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28. 定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．

(1)、【基础巩固】如图1，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的高，已知 $A D$ 上一点E满足 $∠ D E C = 60 °$ ， $A C = 4 \sqrt{6}$ ，求 $A E + B E + C E =$ ；

(2)、【尝试应用】如图2，等边 $△ A B C$ 边长为 $4 \sqrt{3}$ ， E为高线 $A D$ 上的点，将 $△ A E C$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A F G$ ，连接 $E F$ ，请你在此基础上继续探究出等边 $△ A B C$ 的“最近值”；

(3)、【拓展提高】如图3，在菱形 $A B C D$ 中，过 $A B$ 的中点E作 $A B$ 垂线交 $C D$ 的延长线于点F，连接 $A C 、 D B$ ，已知 $∠ B D A = 75 °$ ， $A B = 6$ ，求 $△ A F B$ “最近值”的平方．

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四、实践探究题

29.

(1)、【情境再现】
甲、乙两个含 $45 °$ 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 $A G ， B H$ ，如图③所示， $A B$ 交 $H O$ 于E， $A C$ 交 $O G$ 于F，通过证明 $△ O B E ≌ △ O A F$ ，可得 $O E = O F$ ．
请你证明： $A G = B H$ ．

(2)、【迁移应用】
延长 $G A$ 分别交 $H O ， H B$ 所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明 $D G$ 与 $B H$ 的位置关系．

(3)、【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含 $30 °$ 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 $H B ， A G$ ，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明 $A G$ 与 $B H$ 的数量关系．

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30. 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 $1$ ，在矩形纸片 $A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，将矩形纸片沿对角线 $A C$ 剪开，得到两个全等的直角三角形纸片 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ ，将 $△ A C D$ 固定不动， $△ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一定角度，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中点 $A$ 的对应点为点 $A^{'}$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ．如图 $2$ ，当点 $B^{'}$ 落在 $C D$ 边上时，连结 $A B^{'}$ ，求 $A B^{'}$ 的长．

(1)、数学思考：
请你解答老师提出的问题．

(2)、深入探究：
老师将图2中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题
①“善思小组”提出问题：如图3，当点 $A^{'}$ 落在 $B C$ 的延长线上时，连结 $A B^{'}$ ，求 $A B^{'}$ 的长；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点 $A^{'}$ 落在 $A D$ 的延长线上时，连结 $A B^{'}$ ，求 $A B^{'}$ 的长．

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