备考2024年中考数学探究性训练专题20 四边形

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360°，这一过程体现的数学思想是（）

A、转化思想 B、方程思想 C、函数思想 D、数形结合思想

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2. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程 $x (x + 6) = 72$ 为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为 $x + 6$ ，宽为 $x$ 的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 $x + 6 + x$ ，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即 $4 \times 72 + 6^{2}$ ，据此易得 $x = \frac{18 - 6}{2} = 6$ ．小明用此方法解关于 $x$ 的方程 $x (3 x - n) = 24$ ，其中 $3 x - n > x$ 构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则 $n$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）

A、四条边都相等的四边形是菱形 B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

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4. 数学家莫伦在 $1925$ 年发现了世界上第一个完美长方形（如图 $1$ ），即它恰好能被分割成 $10$ 个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，平行四边形 $E F G H$ 被分割成 $13$ 个小正三角形（如图2），已知中间最小的两个正三角形 $△ A B C$ 和 $△ A D C$ 边长均为 $4$ ，平行四边形 $E F G H$ 的周长为（）

A、 $152$ B、 $156$ C、 $160$ D、 $164$

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二、填空题

5. 如图是跷跷板的示意图，立柱 $O C$ 与地面垂直，以 $O$ 为横板 $A B$ 的中点， $A B$ 绕点 $O$ 上下转动，横板 $A B$ 的 $B$ 端最大高度 $h$ 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设 $A B = 2 m$ ， $O C = 0.5 m$ ，通过计算得到此时的 $h_{1}$ ，再将横板 $A B$ 换成横板 $A^{'} B^{'}$ ， $O$ 为横板 $A^{'} B^{'}$ 的中点，且 $A^{'} B^{'} = 3 m$ ，此时 $B^{'}$ 点的最大高度为 $h_{2}$ ，由此得到 $h_{1}$ 与 $h_{2}$ 的大小关系是： $h_{1}$ $h_{2}$ （填“ $>$ 、“ $=$ ”或“ $<$ ”）可进一步得出， $h$ 随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”）．

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6. 在图1所示的 $3 \times 3$ 的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①.现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形 $A B C D$ ，发现该正方形中间的空白部分②也是一个正方形，且正方形②的面积恰好是正方形①的面积的2倍，则 $A E$ 的长为.

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7. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，将 $△ B C D$ 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若 $a = 5 ， b = 3$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积是．

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8. 何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形 $A B C D$ 边长为1，G是 $A B$ 边的中点，E是射线 $D C$ 上的一个动点.

(1)、如图① ，若点E在线段 $D C$ 上且点E与点C不重合，连结 $B E$ ，将 $△ B C E$ 沿着 $B E$ 翻折，使点C落在 $D G$ 上的点M处，连结 $C M$ 延长交 $A D$ 边于点F且 $C F ⊥ D G$ ，则 $E H · C F$ 的值为

(2)、若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段 $G E$ 的长为半径作 $⊙ C$ ，当 $⊙ C$ 与线段 $D G$ 只有一个公共点时， $C E$ 的取值范围是.

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9. 综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，

(1)、把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为；

(2)、在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 .

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10. 如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 $A B C D$ 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 $E F G H$ ．图中 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ 表示折痕，折后 $B ， D$ 的对应点分别是 $M ， N$ ．若 $A B = 8 c m$ ， $A D = 10 c m$ ， $∠ B = 60 °$ ，则纸片折叠时 $A H$ 的长应取．

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三、实践探究题

11. 综合与探究
如图，经过 $B (3 ， 0)$ ， $C (0 ， - 3)$ 两点的抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 在抛物线的对称轴上，当 $△ A C D$ 的周长最小时，求 $D$ 的坐标；

(3)、已知点 $M$ 在抛物线上，求 $S_{△ A B M} = 8$ 时的点 $M$ 坐标；

(4)、已知 $E (2 ， - 3)$ ，请直接写出能以点 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $P$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $P$ 坐标．

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12.

【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：
已知：如图1， $△ A B C$ 的外角 $∠ C B D$ 和 $∠ B C E$ 的平分线相交于点F．
求证：点F在 $∠ D A E$ 的平分线上．
某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：
如图2，过点F作 $F G ⊥ A D$ 于点G，作 $F H ⊥ A E$ 于点H，作 $F M ⊥ B C$ 于点M，由角平分线的性质定理可得： $F G = F M$ ， $F H = F M$ ．
∴ $F G = F H$ ．
∵ $F G ⊥ A D$ ， $F H ⊥ A E$ ，
∴F在 $∠ D A E$ 的平分结上．

【探究】

(1)、小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中 $B G 、 B C$ 和 $C H$ 三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：；

(2)、小明也发现 $∠ B F C$ 和 $∠ G F H$ 之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：；

(3)、如图3，边长为3的正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别是边 $C D 、 B C$ 上的点，且 $D E = 1$ ．连接 $A E ， A F ， E F$ ，若 $∠ E A F = 45 °$ ，求 $B F$ 的长；

(4)、如图4， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 4$ ． $△ D E F$ 中， $∠ E D F = ∠ B$ ．将 $△ D E F$ 的顶点D放在 $B C$ 边的中点处，边 $D F$ 交线段 $A B$ 于点G，边 $D E$ 交线段 $A C$ 于点H，连接 $G H$ ．现将 $△ D E F$ 绕着点D旋转，在旋转过程中， $△ A G H$ 的周长是否发生变化？若不变，求出 $△ A G H$ 的周长，若改变，请说明理由．

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13. 小星和小红在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行探究.

(1)、问题解决
如图(1)所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，连接AE，BF，且AE⊥BF，求证：△ABE≌△BCF；

(2)、类比探究
如图(2)所示，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AD，AB，CD边上的点，连接EF，GH，且EF⊥GH，求证：EF=GH；

(3)、迁移应用
如图(3)所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC的中点，E是AC边上的点，连接AD，BE，且BE⊥AD，求AE∶CE的值.

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14. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)、问题发现：如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C .$ 点 $P$ 是底边 $B C$ 上一点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为腰作等腰 $R t △ A P Q$ ，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，连接 $C Q$ 、则 $B P$ 和 $C Q$ 的数量关系是；

(2)、变式探究：如图 $2$ ， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C .$ 点 $P$ 是腰 $A B$ 上一点，连接 $C P$ ，以 $C P$ 为底边作等腰 $R t △ C P Q$ ，连接 $A Q$ ，判断 $B P$ 和 $A Q$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、问题解决；如图 $3$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $10$ ，点 $P$ 是边 $A B$ 上一点，以 $D P$ 为对角线作正方形 $D E P Q$ ，连接 $A Q .$ 若设正方形 $D E P Q$ 的面积为 $y$ ， $A Q = x .$ 求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

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15. [探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.
[动手操作]如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF.上，并使折痕经过点A，得到折痕AM.点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'.请完成：

(1)、观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系.

(2)、证明（1）中的猜想.

(3)、[类比操作]如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连结BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连结BB'，P'B'.请完成：
证明BB'是∠NBC的一条三等分线.

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16. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°<a≤90°）得到矩形AB'C'D'，连结BD..

(1)、【探究1】如图1，当α=90°时，点C'恰好在DB的延长线上.若AB=1，求BC的长.

(2)、【探究2】如图2，连结AC，过点D'作D'M //AC'交BD于点M.线段D'M 与 DM 相等吗？请说明理由.

(3)、【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN之间存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

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17. 【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．

【动手操作】如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 对折，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，展平纸片，得到折痕 $E F$ ；折叠纸片，使点B落在 $E F$ 上，并使折痕经过点A，得到折痕 $A M$ ，点B，E的对应点分别为 $B^{'}$ ， $E^{'}$ ，展平纸片，连接 $A B^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $B E^{'}$ ．

请完成：

(1)、观察图1中 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 和 $∠ 3$ ，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片 $A B C D$ 的边 $A D$ 上的一点，连接 $B N$ ，在 $A B$ 上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕 $E F$ ；折叠纸片，使点B，P分别落在 $E F$ ， $B N$ 上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为 $B^{'}$ ， $P^{'}$ ，展平纸片，连接， $P^{'} B^{'}$ ．

(3)、证明 $B B^{'}$ 是 $∠ N B C$ 的一条三等分线．

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18. 【问题情境】：
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片 $A B C D (A D > A B)$ ，其中宽 $A B = 8$ ．

(1)、【动手实践】：
如图1，威威同学将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $M$ 处，折痕为 $B N$ ，连接 $M N$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $A B M N$ ，则折痕 $B N$ 的长度为．

(2)、【探究发现】：
如图2，胜胜同学将图1中的四边形 $A B M N$ 剪下，取 $A N$ 边中点 $E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ A^{^{'}} B E$ ，延长 $B A^{'}$ 交 $M N$ 于点 $F$ ．点 $Q$ 为 $B M$ 边的中点，点 $P$ 是边 $M N$ 上一动点，将 $△ M Q P$ 沿 $P Q$ 折叠，当点 $M$ 的对应点 $M^{'}$ 落在线段 $B F$ 上时，求此时 $t a n ∠ P Q M$ 的值；

(3)、【反思提升】：
明明同学改变图2中 $Q$ 点的位置，即点 $Q$ 为 $B M$ 边上一动点，点 $P$ 仍是边 $M N$ 上一动点，按照（2）中方式折叠 $△ M Q P$ ，使点 $M^{'}$ 落在线段 $B F$ 上，明明同学不断改变点 $Q$ 的位置，发现在某一位置 $∠ Q P M$ 与（2）中的 $∠ P Q M$ 相等，请直接写出此时 $B Q$ 的长度．

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19. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、 [观察与猜想]
如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是 $A B$ 、 $A D$ 上的两点，连接 $D E$ 、 $C F$ ， $D E ⊥ C F$ ，则 $\frac{D E}{C F}$ 的值为＝；

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ，点E是 $A D$ 上的一点，连接 $C E$ ， $B D$ ，且 $C E ⊥ B D$ ，则 $\frac{C E}{B D}$ 的值为．

(3)、 [性质探究]
如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ．点E为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点C作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点G，交 $A D$ 的延长线于点F．求证： $D E \cdot A B = C F \cdot A D$ ；

(4)、[拓展延伸]已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $A D = 6$ ， $A B = 8$
如图④，点P是 $B C$ 上的点，过点P作 $P E ⊥ C F$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $B D$ 上．求 $\frac{O C}{O E}$ 的值；

(5)、如图⑤，点P是 $B C$ 上的一点，过点P作 $P E ⊥ C F$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $B D$ 上，延长 $E P$ 、 $A B$ 交于点G．当 $B G = 2$ 时， $D E =$ ．

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20. 问题提出
如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系.

(1)、问题探究
先将问题特殊化，如图（2），当α=90°，直接写出∠GCF的大小；

(2)、再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展
将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

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21. 综合与探究
问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形ABCD中， $A B = 2$ ，点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE ，将BE绕点E顺时针旋转 $90 °$ 得到FE ，连接DF.

(1)、特例分析：如图1，当点E与点D重合时，求 $∠ A D F$ 的度数；

(2)、深入谈及：当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)、问题解决：如图4，当点E在线段CD上，且 $D F = D A$ 时，请直接写出线段BF的长.

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22. 小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)、概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是

(2)、性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：．

(3)、问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②求出四边形BCGE的面积．

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23. 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在□ABCD中，AB<BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作□DEGF.

(1)、特例探究：如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；

(2)、“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；

(3)、拓展延伸：“善问"小组的同学计划对□ABCD展开类似研究.如图3，在□ABCD中，∠ABC=60.
请从下面 $A$ ， $B$ 两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
$A$ ：当AB=4，BC=6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离.
$B$ ：当BC=6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值.

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24. 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $C E ⊥ D F$ ，则 $C E = D F$ ”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

(1)、【问题探究】如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上，且 $E G ⊥ F H$ ，试猜想 $\frac{E G}{F H} =$ ；

(2)、【知识迁移】如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $B C = n$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上，且 $E G ⊥ F H$ ，试猜想 $\frac{E G}{F H}$ 的值，并证明你的猜想；

(3)、【拓展应用】如图4，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = B C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $A B$ ， $A D$ 上，且 $C E ⊥ B F$ ，求 $\frac{C E}{B F}$ 的值．

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25. 在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片 $A B C (∠ B A C = 90 °)$ 进行如下操作：

(1)、【初步探究】
如图1，折叠三角形纸片 $A B C$ ，使点C与点A重合，得到折痕 $D E$ ，然后展开铺平，则 $A B$ 与 $D E$ 位置关系为， $A B$ 与 $D E$ 的数量关系为；

(2)、【再次探究】
如图2，将 $△ C D E$ 绕点C顺时针旋转得到 $△ C M N$ ，连接 $B M ， A N$ ，若 $B C = 5 ， A B = 3$ ，求 $\frac{A N}{B M}$ 的值；

(3)、【拓展提升】
在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当 $C N ∥ A B$ 时，求 $A M$ 的长．

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26. 综合与探究：
如图，直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{3}{4} x$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 交于点 $A （ 4 ， m ）$ ，直线 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $B （ n ， 0 ）$ ，点 $C$ 从点 $O$ 出发沿 $O B$ 向终点 $B$ 运动，速度为每秒 $1$ 个单位，同时点 $D$ 从点 $B$ 出发以同样的速度沿 $B O$ 向终点 $O$ 运动，作 $C M ⊥ x$ 轴，交折线 $O A - A B$ 于点 $M$ ，作 $D N ⊥ x$ 轴，交折线 $B A - A O$ 于点 $N$ ，设运动时间为 $t$ ．

(1)、求 $A$ ， $B$ 点的坐标；

(2)、在点 $C$ ，点 $D$ 运动过程中，
$①$ 当点 $M$ ， $N$ 分别在 $O A$ ， $A B$ 上时，求证四边形 $C M N D$ 是矩形；
$②$ 在点 $C$ ，点 $D$ 的整个运动过程中，当四边形 $C M N D$ 是正方形时，请你直接写出 $t$ 的值；

(3)、点 $P$ 是平面内一点，在点 $C$ 的运动过程中，问是否存在以点 $P$ ， $O$ ， $A$ ， $C$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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27. 一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.

【初步探究】

(1)、求证：△AQG是等腰三角形；

(2)、记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；

(3)、【深入探究】
将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.

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28. 【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.

(1)、判断△AFG的形状并说明理由.

(2)、求证：BF=2OG.

(3)、【迁移应用】
记△DGO的面积为S₁ ， △DBF的面积为S₂ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{A D}{A B}$ 的值.

(4)、【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的 $\frac{1}{10}$ 时，请直接写出tan∠BAE的值.

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29. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

(1)、【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点 $A^{'}$ 处，当∠BEF＝25°，则∠FE $A^{'}$ ＝°．

(2)、【特例探究】如图2，连接DF，当点 $A^{'}$ 恰好落在DF上时，求证：AE＝2 $A^{'}$ F．

(3)、【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与 $A^{'}$ F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与 $A^{'}$ F之间的数量关系式．

(4)、【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与 $A^{'}$ F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．

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30. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形 $A B C D$ 和矩形 $E F G H$ ，点 $E$ 、 $F$ 在边 $A B$ 上（ $E F < A B$ ），且点 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 、 $H$ 在直线 $A B$ 的同侧；第二步，设置 $\frac{A B}{A D} = m ， \frac{E F}{E H} = n$ ，矩形 $E F G H$ 能在边 $A B$ 上左右滑动；第三步，画出边 $E F$ 的中点 $O$ ，射线 $O H$ 与射线 $A D$ 相交于点 $P$ （点 $P$ 、 $D$ 不重合），射线 $O G$ 与射线 $B C$ 相交于点 $Q$ （点 $Q$ 、 $C$ 不重合），观测 $D P$ 、 $C Q$ 的长度．

(1)、如图 $2$ ，小丽取 $A B = 4 ， E F = 3 ， m = 1 ， n = 3$ ，滑动矩形 $E F G H$ ，当点 $E$ 、 $A$ 重合时， $C Q =$ ；

(2)、小丽滑动矩形 $E F G H$ ，使得 $O$ 恰为边 $A B$ 的中点．她发现对于任意的 $m \neq n ， D P = C Q$ 总成立．请说明理由；

(3)、经过数次操作，小丽猜想，设定 $m$ 、 $n$ 的某种数量关系后，滑动矩形 $E F G H$ ， $D P = C Q$ 总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．

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