备考2024年中考数学探究性训练专题18 相交线与平行线

试卷更新日期：2024-03-31 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l₁、l₂互相平行，l₃、l₄、I₅三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）

A、17个 B、18个 C、19个 D、21个

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2. 在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（）

①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等．

A、②④ B、③⑤ C、①②⑤ D、①③④

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3. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）

A、过C作EF $∥$ AB B、过AB上一点D作DE $∥$ BC，DF $∥$ AC C、延长AC到F，过C作CE $∥$ AB D、作CD⊥AB于点D

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4. 加强对课本习题的探究，对解题有很好的指导作用.如课本第82页有这样一题，如图，AD//BC，BD平分∠ABC，求证：AB=AD.
可将这个题目归纳为：平行加角平分线，得到等腰三角形.请利用这个结论解题：如图，已知△ABC中，I是∠A，∠B，∠C的平分线的交点，AB=6，BC=5，AC=4.平移∠A，使点A与点I重合，两边分别交BC于D，E两点，则△IDE的周长为（）

A、4 B、5 C、6 D、9

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二、填空题

5. 在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含 $30 °$ 角，一块含 $45 °$ 角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有（直接写序号即可）．
① $∠ B A D = ∠ C A E$ ；②若 $∠ B A E = 30 °$ ，则 $A C ∥ D E$ ；③若 $∠ B F D = ∠ C$ ，则 $∠ B A D = 45 °$ ；④若 $∠ B A E = 45 °$ ，则 $B C ∥ A D$ ．

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6. 探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线 $m / / n$ ，两点 $H$ 、 $T$ 在 $m$ 上， $H E ⊥ n$ 于 $E$ ， $T F ⊥ n$ 于 $F$ ，则 $H E = T F$ ．
如图2，已知直线 $m / / n$ ， $A$ 、 $B$ 为直线 $n$ 上的两点， $C$ 、 $P$ 为直线 $m$ 上的两点．

(1)、请写出图中面积相等的各对三角形：．

(2)、如果 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个定点，点 $P$ 在 $m$ 上移动，那么无论 $P$ 点移动到任何位置总有：与 $△ A B C$ 的面积相等；理由是：．

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7. 观察下面图形，按要求找角（不含平角），如图①，两条直线交于同一点O，共有对对顶角；如图②，三条直线交于同一点O，共有对对顶角；探究：若有 $n$ 条直线相交于同一点，则可形成对对顶角．

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8. 在数学探究活动中，“创新”小组进行了如下操作：如图，将矩形纸片ABCD的一角沿过点C的直线折叠，使得点B落在边AD的点H处，再将另一角沿过点C的直线折叠，使得点D落在CH的点Q处，两次折叠的折痕分别为CE、CF。请完成以下探究：

(1)、∠BEC+∠DFC的大小为；

(2)、若AB=3，BC=5时， $\frac{C E}{C F}$ 的值为。

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9. （问题探究）如图1， $a // b$ ，直线 $M N ⊥ a$ ，垂足为 $M$ ，交 $b$ 于点 $N$ ，点 $A$ 到直线 $a$ 的距离为2，点 $B$ 到 $b$ 的距离为1， $M N = 1$ ， $A B = 5$ ，则 $A M + B N$ 的最小值是；（提示：将线段 $B N$ 沿 $N M$ 方向平移1个单位长度即可解决，如图2所示.）
（关联运用）如图3，在等腰 $R t △ A B C$ 和等腰 $R t △ D E F$ 中， $∠ A C B = ∠ D F E = 90 °$ ， $E F$ 在直线 $A B$ 上， $B C = 2 D F = 4$ ，连接 $C E$ 、 $C F$ ，则 $C E + C F$ 的最小值是.

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三、作图题

10. 小冬阅读了教材中“借助三角尺画角”的探究活动（如图1、图2的实物图所示），他在老师指导下画出了图1所对应的几何图形，并标注了所使用三角尺的相应角度（如图3），他发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．
请你借助三角尺完成以下画图，并标注所使用三角尺的相应角度．

(1)、画出图2对应的几何图形；

(2)、设计用一副三角尺画出 $10 5^{∘}$ 角的画图方案，并画出相应的几何图形；

(3)、如图4，已知 $∠ M O N = 3 0^{∘}$ ，画∠MON的角平分线OP．

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四、实践探究题

11. 感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 $\sqrt{2}$ ，CE=4，求DE的长

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12. 小明在一组平行线中作角，探究两边与平行线形成的锐角的数量关系．

(1)、如图1，他先作出 $∠ A O B = 60 °$ ，且点 $O$ 在一条直线上，当 $∠ 1 = 19 °$ 时， $∠ 2 = 41 °$ ．点 $O$ 在两条平行线之间，如图2，请用等式表示 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的数量关系并证明．

(2)、在图3中， $∠ A O B = 60 °$ ，点 $O$ 在两条平行线之间，记 $O A$ 与图中一条直线形成的锐角为 $α$ ，若小明作射线 $O C$ ，使得 $∠ C O B = 45 °$ ，记 $O C$ 与图中另一条直线形成的锐角为 $β$ ，请用等式表示 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系．

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13. 综合与探究

【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB，∠EDF=90，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系。

【探究发现】

(1)、如图2，某数学学习小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，很容易就可以得到DP=DB，请写出证明过程；

(2)、如图3，若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C)，受(1)的启发，另一个学习小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程。

(3)、若点P是CA延长线上的任意一点，在图(4)中补充完整图形，并判断结论是否仍然成立。

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14. 如图，已知格线相互平行，小明在格线中作∠AOB、∠CPD、∠EOF，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系.

(1)、如图1，∠AOB=60°，点O在一条格线上，当∠1=20°时，求∠2的度数；

(2)、如图2，∠CPD=60°，点Р在两条格线之间，用等式表示∠3与∠4的数量关系，并证明；

(3)、如图3，∠EOF=60°，小明在图3中作射线QG，使得∠GOF=45°.记QG与图中一条格线形成的锐角为α，QE与图中另一条格线形成的锐角为β，探究α与β的数量关系，并用等式表示α与β的数量关系.

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15. 综合与探究

(1)、如图1， $A O ∥ C P$ ， $O B ∥ P D$ ，则 $∠ A O B$ 与 $∠ C P D$ 之间的数量关系为；如图2， $A O ∥ C P$ ， $O B ∥ P D$ ，则 $∠ A O B$ 与 $∠ C P D$ 之间的数量关系为．

(2)、在图3中， $A B ∥ C D$ ， $A F ∥ C E$ ， $E F ∥ C D$ ， $∠ A = 45 °$ ，求 $∠ E$ 的度数．

(3)、在图4中， $A D ∥ C F$ ， $D E ∥ B C$ ， $A B ∥ F G$ ， $A D$ 平分 $∠ E D H$ ，试探究 $∠ A B C$ 、 $∠ D H F$ 与 $∠ C F G$ 之间的数量关系．

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16. 直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！
【问题探究】

(1)、①如图1，若 $A B ∥ C D$ ，点P在 $A B ， C D$ 内部， $∠ B = 55 ° ， ∠ D = 30 °$ ，则 $∠ B P D =$ ；
②如图2，若 $A B ∥ C D$ ，将点P在 $A B ， C D$ 外部，求 $∠ B P D ， ∠ B ， ∠ D$ 之间数量关系（不需证明）；
③如图3，写出 $∠ B P D ， ∠ B ， ∠ D ， ∠ B Q D$ 之间的数量关系：（不需证明）．

(2)、如图4，五角星 $A B C D E$ ，请直接写出 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$ ．

(3)、如图5，将五角星 $A B C D E$ 去掉一个角后， $∠ B ＋ ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ P + ∠ Q$ 是多少？请证明你的结论．

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17. 在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究.

(1)、问题梳理：
问题呈现：如图1，点D在等边三角形ABC的边BC上，过点C作AB的平行线l，在l上取CE=BD，连结AE，则在图1中会产生一对旋转图形.请结合问题中的条件，证明：△ABD≌△ACE.

(2)、初步尝试：
如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，且BD<DC，将△ABD沿某条直线翻折，使得AB与AC重合，点D与BC边上的点F重合，再将△ACF沿AC所在直线翻折，得到△ACE，则在图2中会产生一对旋转图形.若∠BAC=30°，AD=6，连结DE，求△ADE的面积.

(3)、深入探究：
如图3，在△ABC中， $∠ A C B = 60 ° ， ∠ B A C = 75 ° ，$ AC=6，D是边BC上的任意一点，连结AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转75°，得到线段AE，连结CE，求线段CE长度的最小值.

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18.

【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：

(1)、如图 $1$ 所示，已知 $A B / / C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ ， $C D$ 之间一点，连接 $B E$ ， $D E$ ，得到 $∠ B E D .$ 请猜想 $∠ B E D$ 与 $∠ B$ 、 $∠ D$ 之间的数量关系，并证明；
猜想： ▲ ；
证明：

(2)、如图 $2$ 所示，已知 $A B / / C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ ， $C D$ 之间一点， $∠ A B E$ 和 $∠ C D E$ 的平分线相交于点 $F$ ，若 $∠ E = 80 °$ ，求 $∠ F$ 的度数；

(3)、【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图 $3$ 所示，已知： $A B / / C D$ ，点 $E$ 的位置移到 $A B$ 上方，点 $F$ 在 $E B$ 延长线上，且 $B G$ 平分 $∠ A B F$ 与 $∠ C D E$ 的平分线 $D G$ 相交于点 $G$ ，请直接写出 $∠ G$ 与 $∠ E$ 之间的数量关系；

(4)、【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件 $A B / / C D$ 去掉，提出了以下问题：
已知 $A B$ 与 $C D$ 不平行，如图 $4$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在 $C D$ 上，连接 $M N$ ，且 $M N$ 同时平分 $∠ B M E$ 和 $∠ D N E$ ，请直接写出 $∠ A M E$ ， $∠ C N E$ ， $∠ M E N$ 之间的数量关系．

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19. 小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.

(1)、【基础巩固】
与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗? 请说明理由.

(2)、【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.
①若∠2=22°，求∠1的度数.
②试说明：2∠1-∠2=90°.

(3)、【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.

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20. 综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含 $45 °$ 的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线 $m ∥ n$ ，直角三角板 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = ∠ A B C = 45 °$ ．

(1)、如图1，若 $∠ 2 = 65 °$ ，则 $∠ 1 =$ ；（直接写出答案）

(2)、“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图 $2$ ，调整三角板的位置，当三角板 $A B C$ 的直角顶点 $C$ 在直线 $n$ 上，直线 $m$ 与 $A B$ ， $A C$ 相交时，他们得出的结论是： $∠ 1 - ∠ 2 = 135 °$ ，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；

(3)、如图 $3$ ，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图 $2$ 的基础上，继续调整三角板的位置，当点 $C$ 不在直线 $n$ 上，直线 $m$ 与 $A C$ ， $B C$ 相交时， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．

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21. 某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形 $E F G H$ 为矩形，请你帮助他们解决下列问题：

(1)、【初步尝试】：他们将矩形 $E F G H$ 的顶点E、G分别在如图（1）所示的 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 、 $B C$ 上，顶点F、H恰好落在 $▱ A B C D$ 的对角线 $B D$ 上，求证： $B F = D H$ ：

(2)、【深入探究】：如图2，若 $▱ A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ，若 $A E = E D$ ，求 $\frac{S_{菱形 A B C D}}{S_{矩形 E F G H}}$ 的值；

(3)、【拓展延伸】：如图（3），若 $▱ A B C D$ 为矩形， $A D = m$ ； $A B = n$ 且 $A E = E D$ ，请直接写出此时 $\frac{S_{矩形 A B C D}}{S_{矩形 E F G H}}$ 的值是（用含有m ， n的代数式表示）.

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22. 数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是 $180 °$ ”，进行了一系列探究，过程如下：

(1)、【论证】如图 $1$ ，延长 $B A$ 至点 $D$ ，过点 $A$ 作 $A E / / B C$ ，就可以说明 $∠ B A C + ∠ B + ∠ C = 180 °$ 成立，即：三角形的内角和为 $180 ° .$ 请完成上述说理过程．

(2)、【应用】如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的平分线与 $∠ A C B$ 的角平分线交于点 $P$ ，过点 $A$ 作 $A E / / B C$ ， $M$ 在射线 $A E$ 上，且 $∠ A C M = ∠ A M C$ ， $M C$ 的延长线与 $A P$ 的延长线交于点 $D$ ．
$①$ 求 $∠ D C P$ 的度数；
$②$ 设 $∠ B = α$ ，请用 $α$ 的代数式表示 $∠ D$ ．

(3)、【拓展】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，过点 $A$ 作 $E F / / B C$ ，直线 $M N$ 与 $E F$ 相交于 $A$ 点右侧的点 $P$ ， $∠ A P N = 75 ° . △ A B C$ 绕点 $A$ 以每秒 $12 °$ 的速度顺时针方向旋转，同时 $M N$ 绕点 $P$ 以每秒 $5 °$ 的速度顺时针方向旋转，与 $E F$ 重合时 $M N$ 再绕着点 $P$ 以原速度逆时针方向旋转，当 $△ A B C$ 旋转一周时，运动全部停止 $.$ 设运动时间为 $t$ 秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得 $M N$ 与 $△ A B C$ 的一边平行？若存在，求 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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23. 综合探究
如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ C$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的平分线， $B E$ 是 $A C$ 边上的高，垂足为 $E$ ，设 $∠ B A C = α$ ．

(1)、探究与发现
① 如图1，若 $α = 30 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为 ▲ ， $∠ D B E$ 的度数为 ▲ ；
② 如图2，若 $α = 80 °$ ，则 $∠ D B E$ 的度数为 ▲ ；
③ 试探究 $∠ B D C$ 与 $α$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、拓展与思考
如图3， $∠ B D C$ 的平分线 $D F$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．当 $D F / / A B$ 时，求 $∠ D B E$ 的度数．

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24. 某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上运动，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为一边在 $A D$ 右侧作等边 $△ A D E$ ．

(1)、【问题发现】如图 $(1)$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动时 $($ 不与点 $B$ 重合 $)$ ，连接 $C E .$ 则线段 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系是；直线 $B A$ 与 $C E$ 的位置关系是；

(2)、【拓展延伸】如图 $(2)$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上运动时，直线 $A D$ ， $C E$ 相交于点 $M$ ，请探究 $△ M A E$ 的面积与 $△ M D C$ 的面积之间的数量关系；

(3)、【问题解决】当点 $D$ 在射线 $B C$ 上运动时 $($ 点 $D$ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，直线 $A D$ ， $C E$ 相交于点 $M$ ，若 $△ M C D$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，请求出线段 $B D$ 的长．

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25. 【问题背景】
如图， $A B ∥ C D$ ．连接 $B C$ ，点E，F在 $B C$ 上，且 $B F = C E$ ，连接 $A E ， D F$ ，且 $∠ A = ∠ D$ ．

【问题探究】

(1)、试说明： $A E = D F$ ：

(2)、若 $A B = C F$ ，
①试判断 $△ C D F$ 的形状，并说明理由：

②若 $∠ B = 30 °$ ，求 $∠ D F B$ 的度数．

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26. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形 $A B C$ 和等腰直角三角形 $C D E$ ，按如图1的方式摆放， $∠ A C B = ∠ E C D = 90 °$ ．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

(1)、【初步探究】如图1，试探究 $E D$ 与 $A B$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、【深入探究】如图2，当 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点共线时，请探究此位置时线段 $A E$ 、 $B E$ 、 $C E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图3，当 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点不共线时，连接 $A E$ ，延长 $B D$ 交 $A E$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，请猜想此位置时线段 $A F$ 、 $B F$ 、 $C F$ 之间的数量关系：．

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27. 学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知 $R t △ E D F$ 中， $∠ D = 90 ° ， ∠ F = 60 °$ ．请根据他们的叙述条件完成题目．

(1)、若 $△ A C B$ 为等腰直角三角形，且 $∠ C = 90 ° ， ∠ A = 45 °$ ；
①甲同学：如图1， $R t △ A C B$ 和 $R t △ E D F$ 的直角边 $D E ， B C$ 在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边 $C F$ 与 $A B$ 相交于点P，那么∠APF= ▲ 度；

②乙同学：如图2， $R t △ A C B$ 和 $R t △ E D F$ 直角顶点C，D互相重合于点P，斜边 $A B$ 与斜边 $E F$ 互相平行，求 $∠ E P B$ 的度数，并写出解答过程；

(2)、若 $△ A C B$ 为等腰三角形，已知 $A C = B C$ ．
丙同学：如图3，若 $R t △ E D F$ 直角顶点D恰好与 $△ A C B$ 底边 $A B$ 的中点重合， $R t △ E D F$ 的斜边 $E F$ 经过 $△ A C B$ 的顶点C，若 $E F ∥ A B$ ，设 $∠ A C B = x$ ，请用含x的式子表示 $∠ E P B$ 的度数，并写出解答过程．

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28. 问题情境：在数学探究活动课上，老师让同学们以“两条平行线 $A B$ ， $C D$ 和一块含30°角的直角三角板 $A_{1} B_{1} C_{1} (∠ C_{1} = 90 ° ， ∠ A_{1} = 30 °)$ ”为主题开展数学探究活动．

(1)、探究发现：如图-1，小明把三角板 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的60°角的顶点 $B_{1}$ 放在 $C D$ 上，若 $∠ 1 = 2 ∠ 2$ ，则 $∠ 2 =$ °；

(2)、如图-2，小亮把三角板 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的两个锐角的顶点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 分别放在 $A B$ 和 $C D$ 上，请你探索并说明 $∠ A A_{1} C_{1}$ 与 $∠ C_{1} B_{1} C$ 之间的数量关系；

(3)、如图-3，小颖把三角板 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的直角顶点 $C_{1}$ 放在 $C D$ 上，30°角的顶点 $A_{1}$ 放在 $A B$ 上．若 $∠ A A_{1} B_{1} = α$ ，直接写出 $∠ B_{1} C_{1} C$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）；

(4)、拓展延伸：若将如图-3所示的三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕直角顶点 $C_{1}$ 顺时针旋转一周，每秒转动10°，直接写出当 $C_{1} B_{1} ⊥ C D$ 时，三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 旋转所用的时间 $t$ （用含 $α$ 的代数式表示）．

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29. 数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿 $M N$ 与 $P Q$ 是否平行，把纸片沿着 $A C$ 折叠（如图1），并用量角器测出 $∠ 1 、 ∠ 2$ 的度数；

(1)、若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $M N ∥ P Q$ .你认为阿青同学的做法正确吗？㳻说明理由；

(2)、在（1）的条件下，阿青同学在纸条下 $P Q$ 上取点 $D$ （如图2），连结 $A D$ 并沿着 $A E$ 折叠纸片使得 $A D$ 与 $A B$ 重合，过 $E$ 作 $E F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，设 $∠ A E F = α$ ， $∠ A D P = β$ .
①当点 $D$ 在点 $C 、 B$ 之间时，若 $β = 12 0^{∘}$ ，求 $α$ 的度数；
②当点 $D$ 在 $P Q$ 上的运动过程中， $α$ 和 $β$ 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.（选其中一种情况证明）

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