广西南宁市第三中学2023-2024学年八年级下学期数学开学考试学情调查试卷

试卷更新日期：2024-03-30 类型：开学考试

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一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合受求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1. 代数式 $- 7 x$ 的意义可以是（）

A、-7与 $x$ 的和 B、-7与 $x$ 的积 C、-7与 $x$ 的差 D、-7与 $x$ 阶商

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2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×10¹²km，下列正确的是（）

A、 $9.46 \times 1 0^{12} - 10 = 9.46 \times 1 0^{11}$ B、 $9.46 \times 1 0^{12} - 0.46 = 9 \times 1 0^{12}$ C、 $9.46 \times 1 0^{12}$ 这一个12位数 D、 $9.46 \times 1 0^{12}$ 是一个13位数

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4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A、1，3，4 B、2，2，7 C、4，5，7 D、3，3，6

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5. 化们 $x^{3} {(\frac{y^{3}}{x})}^{2}$ 的结果是（）

A、 $x y^{6}$ B、 $x y^{5}$ C、 $x^{2} y^{5}$ D、 $x^{2} y^{6}$

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6. 若 $x^{2} + (m - 2) x + 16$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、10 B、-10 C、-6或10 D、10或-10

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7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为焦点．若 $∠ 1 = 155 ° ， ∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点C，若DE=3cm，则AC=（）

A、9cm B、6cm C、12cm D、3cm

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9. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装袆前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米?设边衬的宽度为 $x$ 米，根据题意可列方程（）

A、 $\frac{1.4 - x}{2.4 - x} = \frac{8}{13}$ B、 $\frac{1.4 + x}{2.4 + x} = \frac{8}{13}$ C、 $\frac{1.4 - 2 x}{2.4 - 2 x} = \frac{8}{13}$ D、 $\frac{1.4 + 2 x}{2.4 + 2 x} = \frac{8}{13}$

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10. 如图，将两块相同的三角板（含 $3 0^{°}$ 角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于 $N$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $∠ E A C = ∠ F A B$ B、 $∠ E A F = ∠ E D F$ C、 $△ A C N ≅ △ A B M$ D、 $A M = A N$

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11. 若k为任意整数，则 $(2 k + 3)^{2} - 4 k^{2}$ 的值总能（）

A、被2整除 B、被3整除 C、被5整除 D、被7整除

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12. 在多项式 $x - y - z - m - n$ （其中 $x > y > z > m > n$ ）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如： $x - y - | z - m | - n = x - y - z + m - n, | x - y | - z - | m - n | = x - y - z - m + n, ⋯$ ．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

13. 使得分式 $\frac{2 x - 6}{x + 3}$ 有意义的条件是．

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14. 一个多边形外角和是内角和的 $\frac{2}{9}$ ，则这个多边形的边数为.

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，点D为BC上一点，连接AD ．过点B作BE⊥AD于点E ，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F ．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为．

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16. 已知 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，且 $a \neq - b$ ，则 $\frac{a b - a}{a + b}$ 的值为．

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17. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ 至少有2个整数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是.

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18. 如果一个四位自然数 $\bar{a b c d}$ 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 $\bar{a b} - \bar{b c} = \bar{c d}$ ，那么称这个四位数为“递减数”。例如；四位数4129， $∵ 41 - 12 = 29, ∴ 4129$ 是“递减数”；又如：四位数 $5324, ∵ 53 - 32 = 21 \neq 24, ∴ 5324$ 不是“递减数”．若一个“递减数”为 $\bar{a 312}$ ，则这个数为4312；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 $\bar{a b c}$ 与后三个数字组成的三位数 $\bar{b c d}$ 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是.

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三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19. 计算：

(1)、 $| - 2023 | + π^{0} - {(\frac{1}{6})}^{- 1} + \sqrt{16}$ ；

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20. 先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a - 2} \cdot \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{2}{a - 1}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 三个顶点坐标分别是 $A (- 4, 1) 、 B (- 3, 3) 、 C (- 1, 2)$

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ 、的坐标；

(2)、在平面直角坐标系中，以AC为公共边的 $△ A C D ≅ △ A C B$ 请直接写出满足条件的点 $D$ 坐标

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22. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：作底边BC上的高AD，(保留作图痕迹，不写作法，并标明字母)

(2)、在（1）的条件下，若∠BAD=25°，求∠C的度数.

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23. “杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．

(1)、求图1中第8行第5个数是；

(2)、求图1中前10行所有的数字之和；

(3)、“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为： $1 ， 3 ， 6, 10, 15 ⋯$ ，记第 $n$ 层的圆球数记 $a_{n}$ ，求 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2023}}$ 的值．

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24. 科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时．

(1)、一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？

(2)、新年将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备则买该型号的自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条?

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25. 【问题情境】如图1， $△ A B D$ 与 $△ A E C$ 都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN.

(1)、求证：BE=CD；

(2)、求证：△AMN是等边三角形．

(3)、【类比探究】如图2， $△ A B D$ 与 $△ A E C$ 都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN请探究：
若点N恰好也是AE的中点，且 $A E = 2$ ，求 $△ A B E$ 的面积．

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26.

(1)、【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点 $(2, 3)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标为；

(2)、【实践探究】
小睿受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(1, 1)$ ，求点 $A (a, b)$ 关于直线OP的对称点 $B$ 的坐标（用含a，b的式子表示）；

(3)、【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点P的坐标为 $(1, 2)$ ，直接写出点 $A (a, 0)$ 关于直线OP的对称点 $B$ 的坐标（用含 $a$ 的式子表示），小博经过探究得出直线OP上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1：2，点 $B$ 的纵坐标为 $\frac{4}{5} a$ ，请帮助小博完成问题．

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