重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一下学期数学2月质检试卷

试卷更新日期：2024-03-30 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. “ $- 2 < x < 6$ ”是“ $| x | < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 函数 $y = x + 2 \sqrt{x} + 3$ 的值域为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{5}{2} ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休 $.$ ”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征 $.$ 如函数 $y = 2^{| x |} s i n 2 x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 对于两个不相等的实数 $a$ 、 $b$ ，规定符号 $M a x {a, b}$ 表示 $a$ 、 $b$ 中的较大值，如： $M a x {2,4} = 4 .$ 按照这个规定，方程 $M a x {x, - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解集为（）

A、 ${1 - \sqrt{2}}$ B、 ${2 - \sqrt{2}}$ C、 ${1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}}$ D、 ${1 + \sqrt{2}, - 1}$

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5. 若将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小正值是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6. 已知 $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $2 s i n θ = c o s θ + 2$ ，则 $s i n θ + c o s θ$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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7. $△ A B C$ 中， $s i n (A + B) + s i n A s i n B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 已知 $a \in [2,3]$ ， $b \in R$ ， $f (x) = x^{2} + 2 x + b - a | x - a |$ ，若当 $x \in [1,4]$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则 $5 a + b$ 的最大值是（）

A、 $- 6$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $6$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ， $n$ 、 $m \in N^{*}$ ， $n > 1$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $l o g_{a} (b^{2} - c^{2}) = 2 l o g_{a} b - 2 l o g_{a} c$ B、 $(l o g_{a} 3)^{2} = 2 l o g_{a} 3$ C、 $l o g_{a} \sqrt[n]{b^{m}} = \frac{m}{n} l o g_{a} b$ D、 $l o g_{a} b = - l o g_{a} \frac{1}{b}$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $a$ ， $b \in R$ ，都有 $f (a + b) = f (a) + f (b)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ 恒成立，则（）

A、函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数 B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、若 $f (- 2) = 2$ ，则 $| f (x) | < 1$ 的解集为 $(- 1,1)$ D、函数 $f (x) + x^{2}$ 为偶函数

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有 $2$ 个极小值点，且最多有 $5$ 个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有且仅有 $2$ 个极大值点 B、如果 $ω$ 是正整数，则 $ω = 4$ 或 $5$ C、 $f (x)$ 的图象在 $(0, \frac{π}{12})$ 上没有对称轴 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 上单调递增

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x \leq 2 \\ l o g_{2} (x^{2} - 1), x > 2 \end{array}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则 $f [f (\sqrt{5})] =$ ．

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13. 设 $A = {(x, y) | 3 x + y = 1}$ ， $B = {(x, y) | y = (1 - 2 k^{2}) x + 5}$ ，若 $A \cap B = ⌀$ ，则 $k =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq 0 \\ x^{2} - 2 x + 1, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - a f (x) = 0$ 恰有 $5$ 个不同的实数解，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 设集合 $A = {x | x^{2} - a x + a^{2} - 19 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ ， $C = {x | x^{2} - 2 x - 3 = 0}$ ．

(1)、若 $A ⋂ B = A ⋃ B$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $⌀ ⫋ (A ⋂ B)$ 且 $A \cap C = ⌀$ ，求实数 $a$ 的值．

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16. 已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = {l o g}_{a} (1 + x)$ ， $g (x) = {l o g}_{a} (1 - x)$ ．

(1)、判断函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、对任意的 $x \in (- 1,1)$ ，不等式 $[f (x) - a^{x}] + [g (x) - a^{- x}] ⩽ m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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17. 已知 $x$ ， $y$ ， $z \in (0, + \infty)$ ．

(1)、若 $x + y = 1$ ，证明： $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} \leq \sqrt[4]{8}$ ；

(2)、若 $x + y + z = 1$ ，证明 $\frac{y}{\sqrt{x}} + \frac{z}{\sqrt{y}} + \frac{x}{\sqrt{z}} > 1 + \sqrt{z} - z$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ．

(1)、解不等式 $f (x + 4) + f (x) > 0$ ；

(2)、讨论函数 $F (x) = 8 f (2 x) - k f (x) + 2^{x} - 2^{- x}$ 的零点个数．

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19. 设 $P (x, y)$ 是角 $θ$ 的终边上任意一点，其中 $x \neq 0$ ， $y \neq 0$ ，并记 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ 若定义 $c o t θ = \frac{x}{y}$ ， $s e c θ = \frac{r}{x}$ ， $c s c θ = \frac{r}{y}$ ．

(1)、求证 ${s i n}^{2} θ + {c o s}^{2} θ - {t a n}^{2} θ - {c o t}^{2} θ + {s e c}^{2} θ + {c s c}^{2} θ$ 是一个定值，并求出这个定值；

(2)、求函数 $f (θ) = | s i n θ + c o s θ + t a n θ + c o t θ + s e c θ + c s c θ |$ 的最小值．

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