吉林省长春重点学校2023-2024学年高一下学期数学期初试卷

试卷更新日期：2024-03-30 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x \in R | - 2 < x < 6}$ ， $B = {x \in R | x < 2}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | x < 6}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | x > - 2}$ D、 ${x | 2 \leq x \leq 6}$

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2. “ $a > b$ ”是“ $a c > b c$ ”的什么条件（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某公司每个月的利润 $y ($ 单位：万元 $)$ 关于月份 $n$ 的关系式为 $y = n^{2} - 9 n + 114$ ，则该公司 $12$ 个月中利润大于 $100$ 万的月份共有（）

A、 $4$ 个 B、 $5$ 个 C、 $6$ 个 D、 $7$ 个

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4. 若 $x > 0$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{2 x + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2} - \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} l o g_{2} x, x > 0, \\ f (x + 2), x \leq 0, \end{array}$ 则 $f (- 5) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的减函数，那么 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0,1)$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{3})$

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7. 定义两种运算： $a \oplus b = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ， $a \otimes b = \sqrt{(a - b)^{2}}$ ，则 $f (x) = \frac{2 \oplus x}{2 - (x \otimes 2)}$ 是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、非奇非偶函数

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8. 若函数 $f (x) = l n (x^{2} - a x + 1)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, \frac{5}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{5}{2}]$ D、 $(\frac{5}{2}, 4]$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列函数中，既是奇函数又在 $(0,1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = s i n (x - \frac{π}{2})$ C、 $y = s i n x$ D、 $y = t a n x$

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10. 下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{π}{3}$ 是第三象限角 B、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 3,4)$ ，则 $c o s α = - \frac{3}{5}$ C、若角 $α$ 为锐角，那么 $2 α$ 是第一或第二象限角 D、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$

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11. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3³⁶¹ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10⁸⁰.则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最不可能的三个值是（）
（参考数据：lg3≈0.48）

A、10³³ B、10⁵³ C、10⁷³ D、10⁹³

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12. 已知定义在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，（）

A、若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $[5,9)$ B、若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(5,9]$ C、若 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则 $ω$ 的取值个数最多为 $2$ D、若 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则 $ω$ 的取值个数最多为 $3$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 命题 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 > 0$ 的否定是．

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14. 函数 $y = 3 t a n (x - \frac{π}{4})$ 的定义域是．

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15. 若 $s i n (α + \frac{7 π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (α + \frac{5 π}{3}) =$ ．

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16. 若 $θ$ 是三角形的一个内角，且函数 $y = c o s θ \cdot x^{2} - 4 s i n θ \cdot x + 6$ 对任意实数 $x$ 均取正值，那么 $θ$ 所在区间是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算下列各式：

(1)、 $(2 \frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - (- 9.6)^{0} - (3 \frac{3}{8})^{- \frac{2}{3}} + (1.5)^{- 2}$ ；

(2)、 ${l o g}_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + l g 25 + l g 4 + 7^{l o g_{7} 2}$ ．

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18. 已知 $c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，求下列各式的值．

(1)、 $\frac{s i n α + 2 c o s α}{3 s i n α + c o s α}$ ；

(2)、 $\frac{t a n (- α - π] \cdot s i n (2 π + α)}{c o s (- α) \cdot t a n α}$ ．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{3 x + 4}{x + 1}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为减函数．

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20. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $[- 1,1]$ 上的最大值与最小值之差为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - f (- x)$ ，当 $a > 1$ 时，解不等式 $g (x^{2} + 2 x) + g (x - 4) > 0$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6}) + 2 s i n^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间及最小正周期；

(2)、若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $s i n α$ ．

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22. 已知 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) + m x$ 是偶函数

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、已知不等式 $f (x) + \frac{1}{2} x \geq l o g_{4} (a \cdot 2^{x})$ 对 $x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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