湖北省咸宁市崇阳第二高级中学2023-2024学年高一下学期数学开学试卷

试卷更新日期：2024-03-30 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 $A = {x \in N | x \geq 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 命题“ $\exists x > 0$ ， $e^{x} > x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $e^{x} ⩽ x + 1$ B、 $\forall x ⩽ 0$ ， $e^{x} ⩽ x + 1$ C、 $\exists x ⩽ 0$ ， $e^{x} ⩽ x + 1$ D、 $\forall x > 0$ ， $e^{x} ⩽ x + 1$

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3. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + c - 3$ ，则“ $\exists x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) < 0$ ”是“ $c < 3$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知指数函数 $y = a^{x}$ 是减函数，若 $m = a^{2}$ ， $n = 2^{a}$ ， $p = {l o g}_{a} 2$ ，则 $m$ ， $n$ ， $p$ 的大小关系是（）

A、 $m > n > p$ B、 $n > m > p$ C、 $n > p > m$ D、 $p > n > m$

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5. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为 $r = 0.6 lg I$ ，若 $6.5$ 级地震释放的相对能量为 $I_{1}$ ， $7.4$ 级地震释放的相对能量为 $I_{2}$ ，记 $n = \frac{I_{2}}{I_{1}}$ ，n约等于 $($ $)$

A、16 B、20 C、32 D、90

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6. 若函数f(x)= $\{\begin{matrix} a^{x} ， (x > 1) \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， (x \leq 1) \end{matrix}$ 是R上的单调函数，则实数a取值范围为（　　）

A、（1，+∞） B、（1，8） C、（4，8） D、[4，8）

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7. 如图是杭州第 $19$ 届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面 $A B C D$ ，若 $\overset{⏜}{A B}$ 的长为 $16$ ， $\overset{⏜}{C D}$ 的长为 $48$ ， $A D = 12$ ，则扇面 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $190$ B、 $192$ C、 $380$ D、 $384$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ，则关于 $t$ 的不等式 $f (l n t) + 2 f (l n \frac{1}{t}) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(0,1)$ D、 $(1, + \infty)$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列说法错误的是（）

A、 $- 330 °$ 与 $750 °$ 的终边相同 B、 $- 120 °$ 化成弧度是 $- \frac{5}{6} π$ C、经过 $4$ 小时时针转了 $120 °$ D、若角 $α$ 与 $β$ 终边关于 $y$ 轴对称，则 $α + β = \frac{π}{2} + 2 k π$ ， $k \in Z$

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10. 下列命题中正确的有（）

A、 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则 $m = - 1$ B、 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 2 x)$ 的单调递增区间是 $(1, + \infty)$ C、 $f (x) = \frac{1}{a x^{2} + a x + 1}$ 定义域为 $R$ ，则 $a \in [0,4)$ D、 $f (x) = x + 2 \sqrt{4 - x}$ 的值域是 $(- \infty, 5]$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{1 + | x |} + 1 (x \in R)$ ，则下述结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于 $(0,1)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $R$ 内是单调增函数 D、关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (x - 2) > 2$ 的解集为 $(1, + \infty)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. $l o g_{2}^{} 3 \cdot l o g_{3} 4 + (\frac{27}{8})^{- \frac{1}{3}} + \sqrt{2 \times \sqrt[3]{8}} =$ ．

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13. 若 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{12}{13}$ ，则 $c o s (\frac{13 π}{6} - α) =$ ．

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14. 已知 $f (x) = x^{3} + 2023 x$ ，若实数 $a$ ， $b \in (0, + \infty)$ 且 $f (\frac{1}{2} - 3 a) + f (\frac{1}{2} - b) = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{8} ⩽ 2^{x} ⩽ 4}, B = {x | 2 m - 1 < x < m + 3}$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边过定点 $P (2,3)$ ．

(1)、求 $s i n α$ 、 $c o s α$ 的值；

(2)、求 $\frac{c o s (\frac{11 π}{2} - α) s i n (\frac{9 π}{2} + α) - 2 s i n (π + α) c o s (- α)}{c o s (\frac{π}{2} + α) s i n (- π - α)}$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{x}{4} l o g_{2} \frac{x}{2}$ ．

(1)、当 $x \in [2,8]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若不等式 $f (x) \geq m l o g_{2} x$ 在 $x \in [4,16]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{x - 3}{x + 3} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若当 $a = \frac{1}{2}$ 时，函数 $g (x) = f (x) - b$ 在 $(3, + \infty)$ 有且只有一个零点，求实数 $b$ 的范围；

(3)、是否存在实数 $a$ ，使得当 $f (x)$ 的定义域为 $[m, n]$ 时，值域为 $[1 + {l o g}_{a} n, 1 + {l o g}_{a} m]$ ，若存在，求出实数 $a$ 的范围；若不存在，请说明理由．

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19. 设函数 $f (x) = \frac{b^{2 x} - t + 1}{b^{x}} (b > 0, b \neq 1)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数．

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (2) < 0$ ，求使不等式 $f (k x + x^{2}) + f (x + 1) < 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立的实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，是否存在正数 $a (a \neq 1)$ ，使函数 $g (x) = {l o g}_{a} [b^{2 x} + b^{- 2 x} - 2 f (x) + a - 1]$ 在 $[- 1,0]$ 上的最大值为 $2$ ，若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

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