四川省南充市南充高级名校2024届高三第二次模拟数学（文）试卷

试卷更新日期：2024-03-30 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1. 设集合 $M = {- 1, 0, 1}$ ， $N = {x \in N | - 1 \leq x \leq 2}$ ，则 $M \cup N$ 等于（）

A、 ${0, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 复数 $\frac{- 2 - i}{1 + i + i^{3}}$ 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 某工厂生产A ， B ， C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（）

A、150 B、180 C、200 D、250

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4. 已知圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 1 = 0$ ，直线 $l : x + n (y - 1) = 0$ 与圆C（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、相交或相切

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, x - 1)$ ， $\vec{b} = (6, 2 - x)$ ，若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x =$ （）

A、－2 B、 $\frac{5}{4}$ C、2 D、5

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6. 在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积 $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{9}$ （单位：L）依次成等差数列，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3.6$ ， $a_{8} = 0.4$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{9} =$ （）

A、5.4 B、6.3 C、7.2 D、13.5

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7. 已知函数 $f (x)$ 的局部图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $f (x) = e^{\frac{1}{| x |}} \cdot s i n \frac{π}{2} x$ B、 $f (x) = e^{\frac{1}{| x |}} \cdot c o s \frac{π}{2} x$ C、 $f (x) = l n | x | \cdot s i n \frac{π}{2} x$ D、 $f (x) = l n | x | c o s \frac{π}{2} x$

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8. 设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $β / / α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$

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9. 将函数 $f (x) = 2 c o s (2 x - \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则曲线 $y = g (x)$ 与直线 $y = \sqrt{3}$ 的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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10. 过双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点F作 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E在第一象限交于点A ，若 $\vec{F A} = 3 \vec{F T}$ ，则双曲线E的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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11. 设函数 $f (x) = s i n x + e^{x} - e^{- x} - x + 3$ ，则满足 $f (x) + f (3 - 2 x) < 6$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3)$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ ：1，1，2，3，5，8，13，……这个数列从第3项起，每一项都等于前两项之和，记 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .给出以下结论：① $a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2 n - 1} = a_{2 n} - 1$ ， ② $a_{2} + a_{4} + a_{6} + ⋯ + a_{2 n} = a_{2 n + 1}$ ， ③ $S_{n} = a_{2 n + 2} - 1$ ， ④ $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} = a_{n} a_{n + 1}$ .其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \geq 0 \\ 4 x - y \geq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最小值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n}$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ .

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15. 已知直线l过圆 $(x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心，且与圆相交于A ， B两点，P为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一个动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为.

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16. 已知菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$ ， $B D = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿着 $B D$ 折叠，使得 $∠ A O C = 60 °$ ， $A C = 3$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹.某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异.在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $a$ ，将该指标小于 $a$ 的人判定为阳性，大于或等于 $a$ 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p (a)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q (a)$ .假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率.

(1)、当临界值 $a = 20$ 时，求漏诊率 $p (a)$ 和误诊率 $q (a)$ ；

(2)、从指标在区间 $[20, 25]$ 样本中随机抽取2人，求恰好一人是患病者一人是未患病者的概率.

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18. 在① $2 c s i n B c o s A = b (s i n A c o s B + c o s A s i n B)$ ；② $s i n^{2} B + s i n^{2} C + c o s^{2} A - 1 = s i n (A + B) s i n (A + C)$ ；③ $\frac{b s i n B + c s i n C - a s i n A}{c s i n B} = \frac{2}{\sqrt{3}} s i n A$ ；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且满足 ▲ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ， D为AC的中点，求BD的最小值.

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19. 已知多面体 $A B C D E F$ 中， $A D / / B C / / E F$ ，且 $A D = C D = D E = 2$ ， $B C = E F = 1$ ， $∠ B C D = ∠ F E D = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ B F$ ；

(2)、若 $B F = \sqrt{6}$ ，求多面体 $A B C D E F$ 的体积.

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20. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - x - l n x (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $x > 0$ ，不等式 $f (x) > 2 x^{2}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知点 $A (2, y_{0})$ 在抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 上，点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线C上的动点，直线 $A P, A Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，直线 $l$ 是曲线 $C$ 在 $A$ 点处的切线.

(1)、求直线 $P Q$ 的斜率；

(2)、设 $△ A P Q$ 的外接圆为 $E$ ，求证：直线 $l$ 与圆 $E$ 相切.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s θ \\ y = - 2 + 2 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = 3$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标系方程；

(2)、曲线 $C_{3} : θ = α (ρ > 0, \frac{5 π}{4} < α < \frac{3 π}{2})$ 分别交曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 于点 $M, N$ ，求 $\frac{| O M |}{\sqrt{2}} - \frac{6}{| O N |}$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | 2 x - m |$ ， $m \in R$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，解不等式 $f (x) \leq 2$ ；

(2)、若存在 $x_{0}$ 满足 $| x_{0} - 1 | + f (x_{0}) < 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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