云南省2024届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学试卷

试卷更新日期：2024-03-30 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 甲､乙､丙､丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数 $\bar{x}$ （单位：环）和方差 $s^{2}$ 如下表所示：

甲
乙
丙
丁
$\bar{x}$
8.2
9.5
9.9
7.7
$s^{2}$
0.16
0.65
0.09
0.41
根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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2. 在 ${(\frac{2}{x^{2}} + \sqrt{x})}^{10}$ 的二项展开式中，常数项是（）

A、132 B、160 C、180 D、196

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3. 已知 $f (x) = | l g x |$ ，若 $a = f (\frac{1}{4}), b = f (\frac{1}{2}), c = f (3)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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4. 已知 $α$ 、 $β$ 是两个不同平面， $m$ 、 $n$ 是两条不同直线.若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则下列命题，正确的是（）

A、若 $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ，则 $m / / n$

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5. 已知双曲线 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}, P$ 是 $M$ 右支上的一点.若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4 a, c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2}{3}$ ，则 $M$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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6. 已知 $t a n α = - 3$ ，则 $\frac{2 s i n (α + \frac{5 π}{6})}{2 s i n (\frac{π}{2} + α) - s i n (α - π)} =$ （）

A、 $- 3 - \sqrt{3}$ B、 $- 1 - 3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{1 - 3 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{1 + 3 \sqrt{3}}{5}$

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7. 椭圆 $E$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, F$ 为 $E$ 的左焦点， $A$ 是 $E$ 的上顶点， $B$ 是 $E$ 的右顶点， $C$ 是 $E$ 的下顶点.记直线 $A B$ 与直线 $F C$ 的交点为 $D$ ，则 $∠ B D C$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{15} + \sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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8. 一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）

A、60种 B、68种 C、82种 D、108种

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 都是复数，下列正确的是（）

A、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ B、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ C、若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$

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10. 为得到函数 $y = 6 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需要将函数 $y = 6 s i n 2 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向右平行移动 $\frac{5 π}{6}$ 个单位 D、向右平行移动 $\frac{11 π}{6}$ 个单位

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11. 已知 $P$ 是直线 $l : y = x + 2 \sqrt{2}$ 上的动点， $O$ 为坐标原点，过 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A ､ B$ ，则（）

A、当点 $P$ 为直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点时，直线 $A B$ 经过点 $(- \frac{\sqrt{2}}{4}, - 4 \sqrt{2})$ B、当 $△ A P B$ 为等边三角形时，点 $P$ 的坐标为 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $∠ A P B$ 的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ D、 $| P O |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是 $\frac{1}{3}$ ，乙能破译的概率是 $\frac{2}{3}$ ，则甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是.

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13. 已知 $f (x) = \frac{1}{8} x^{3} - 3 a x^{2} + 8 a x - 100$ 在 $(2, 6)$ 上只有一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 满足 $s i n^{2} B = 3 s i n^{2} A - 2 s i n^{2} C$ ，当 $s i n A$ 的值最大时， $\frac{s i n^{2} B}{s i n^{2} C}$ 的值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 某大学保卫处随机抽取该校1000名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进行了问卷调查，结果见下表：

男生（单位：人）
女生（单位：人）
总计
赞成
400
300
700
不赞成
100
200
300
总计
500
500
1000

(1)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别是否有关；

(2)、为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及概率如下：
奖金（单位：元）
0
10
20
获奖概率
$\frac{2}{5}$
$\frac{2}{5}$
$\frac{1}{5}$
若甲､乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ .
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828

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16. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，记 $S_{n} 、 T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 62$ ， $S_{10} = 2046, 2 T_{n} = n b_{n} + n, b_{2} = 3$ .

(1)、求 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在整数 $c$ ，使 $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + ⋯ + \frac{b_{n}}{a_{n}} < c$ 对任意正整数 $n$ 都成立？若存在，求 $c$ 的最小值；若不存在，请说明理由.

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17. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C C_{1}$ 的中点， $N$ 在 $B_{1} B$ 上.

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、若 $D C = D D_{1} = 2 A D = 4, ∠ D_{1} D C = \frac{2 π}{3}, A D ⊥$ 平面 $D C C_{1} D_{1}, \vec{B_{1} N} = 5 \vec{N B}$ ，求平面 $E F N$ 与平面 $D C C_{1} D_{1}$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点是坐标原点 $O . P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ 与 $C$ 的一个交点， $| P F | = \frac{3}{2} . A 、 B$ 是 $C$ 上的动点，且 $A 、 B$ 在 $x$ 轴两侧，直线 $A B$ 与圆 $O$ 相切，线段 $O A 、$ 线段 $O B$ 分别与圆 $O$ 相交于点 $M 、 N$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $△ O M N$ 的面积是否存在最大值？若存在，求使 $△ O M N$ 的面积取得最大值的直线 $A B$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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19. 已知 $e$ 是自然对数的底数，常数 $k > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} (1 - x), H (x) = l n x + \frac{k}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 、 $H (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论直线 $y = x$ 与曲线 $y = l n x - 1$ 的公共点的个数；

(3)、记函数 $F (x) = \frac{e^{x} (l n x - x + 1)}{x}, \forall x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $F (x_{1}) = F (x_{2})$ ，则 $(e^{2} - 2 e) x_{1} + x_{2} - a \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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	男生（单位：人）	女生（单位：人）	总计
赞成	400	300	700
不赞成	100	200	300
总计	500	500	1000

奖金（单位：元）	0	10	20
获奖概率	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

$α$	0.15	0.10	0.05	0.010	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	6.635	10.828

	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$	8.2	9.5	9.9	7.7
$s^{2}$	0.16	0.65	0.09	0.41