湖北省七市州2024年高三下学期数学3月联合统一调研测试试卷

试卷更新日期：2024-03-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ， $B = {x | l o g_{2} x > 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(1, 2]$ D、 $(2, 3)$

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2. 已知复平面内坐标原点为O ，复数Z对应点Z ， z满足 $z (4 - 3 i) = 3 + 4 i$ ，则 $| \vec{O Z} | =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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3. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，若 $\vec{B P} = \vec{P C}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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4. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ ，则“ $m = 2$ ”是“椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 过点 $P (- 1, 1)$ 的直线l与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 1 = 0$ 交于A ， B两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 已知公差为负数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{7}$ 是等比数列，则当 $S_{n}$ 取最大值时， $n =$ （）

A、2或3 B、2 C、3 D、4

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7. 若 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $t a n α = \frac{c o s α}{3 - s i n α}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{6} + 7}{18}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6} - 7}{18}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2} + 7 \sqrt{3}}{18}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} - 7 \sqrt{3}}{18}$

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8. 能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$

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二、多项选择题

9. 已知A ， B为随机事件， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.4$ 则下列结论正确的有（）

A、若A ， B为互斥事件，则 $P (A + B) = 0.9$ B、若A ， B为互斥事件，则 $P (\bar{A} + \bar{B}) = 0.1$ C、若A ， B相互独立，则 $P (A + B) = 0.7$ D、若 $P (B ∣ A) = 0.3$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = 0.5$

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10. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱 $D D_{1}$ 的中点，F为正方形 $C_{1} C D D_{1}$ 内一个动点（包括边界），且 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列说法正确的有（）

A、动点F轨迹的长度为 $\sqrt{2}$ B、三棱锥 $B_{1} - D_{1} E F$ 体积的最小值为 $\frac{1}{3}$ C、 $B_{1} F$ 与 $A_{1} B$ 不可能垂直 D、当三棱锥 $B_{1} - D_{1} D F$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{25}{2} π$

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11. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = \frac{4}{2^{x} + 2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $(0, 2]$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 成中心对称图形 C、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、若函数 $g (x)$ 满足 $y = g (x + 1) - 1$ 为奇函数，且其图象与函数 $f (x)$ 的图象有2024个交点，记为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2,, 2024)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} (x_{i} + y_{i}) = 4048$

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三、填空题

12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 满足 $f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})$ 恒成立，且在区间 $(\frac{π}{3}, π)$ 上无最小值，则 $ω =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = l n (a x + \frac{1}{3} b) - \sqrt{x^{2} + \frac{1}{9}}$ 有零点，当 $a^{2} + b^{2}$ 取最小值时， $\frac{b}{a}$ 的值为.

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四、双空题

14. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右顶点分别为A ， B ，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线 $P A$ ， $P B$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则 $t a n α \cdot t a n β =$ ；当 $2 t a n α + t a n β$ 取最小值时， $△ P A B$ 的面积为.

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五、解答题

15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $△ P B C$ 是等边三角形，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， O ， F分别是 $B C$ ， $P C$ 的中点， $A C$ 与 $B D$ 交于点E.

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A O$ ；

(2)、平面 $O E F$ 与直线 $P D$ 交于点Q ，求直线 $O Q$ 与平面 $P C D$ 所成角 $θ$ 的大小.

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16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60

(1)、若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生

女生

合计

(2)、若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X ，求 $E (X)$ 和 $D (X)$ ；

(3)、若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y ，求Y的分布列和数学期
望.
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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17. 已知各项均不为0的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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18. 如图，O为坐标原点，F为抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点，过F的直线交抛物线于A ， B两点，直线AO交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B点处的切线为l.

(1)、若直线l与y轴的交点为E ，求证： $| D E | = | E F |$ ；

(2)、过点B作l的垂线与直线 $A O$ 交于点G ，求证： $| A D |^{2} = | A O | \cdot | A G |$ .

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19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图像连续不断，从几何上看，定积分 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x$ 便是由直线 $x = a$ ， $x = b$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = \frac{1}{x}$ 所围成的区域（称为曲边梯形 $A B Q P$ ）的面积，根据微积分基本定理可得 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = l n b - l n a$ ，因为曲边梯形 $A B Q P$ 的面积小于梯形 $A B Q P$ 的面积，即 $S_{曲边梯形 A B Q P} < S_{梯形 A B Q P}$ ，代入数据，进一步可以推导出不等式： $\frac{a - b}{l n a - l n b} > \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ .

(1)、请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： $\frac{a - b}{l n a - l n b} < \frac{a + b}{2}$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + x l n x$ ，其中a ， $b \in R$ .
（i）证明：对任意两个不相等的正数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线均不重合；
（ii）当 $b = - 1$ 时，若不等式 $f (x) \geq 2 s i n (x - 1)$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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一周参加体育锻炼次数	0	1	2	3	4	5	6	7	合计
男生人数	1	2	4	5	6	5	4	3	30
女生人数	4	5	5	6	4	3	2	1	30
合计	5	7	9	11	10	8	6	4	60

性别	锻炼		合计
性别	不经常	经常	合计
男生
女生
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635