北师大版数学中考仿真模拟试题（二）

试卷更新日期：2024-03-29 类型：中考模拟

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. $2023$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- 2023$ C、 $2023$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 在 $l_{2}$ 上， $A B ⊥ l_{3}$ ，垂足为 $B .$ 若 $∠ 1 = 138 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $38 °$ C、 $42 °$ D、 $48 °$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} + x = x^{3}$ B、 $x^{6} \div x^{3} = x^{2}$ C、 ${(x^{3})}^{4} = x^{7}$ D、 $x^{3} \cdot x^{4} = x^{7}$

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5. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} - 2 x - 3 \geq 1 \\ \frac{x}{4} - 1 \geq \frac{a - 1}{2} \end{array}$ 无实数解，则a的取值范围是（　　）

A、 $a \geq - \frac{5}{2}$ B、 $a \geq - 2$ C、 $a > - \frac{5}{2}$ D、 $a > - 2$

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6. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用 $1$ ， $2$ ， $3$ 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，F是 $A D$ 上一点， $C F$ 交 $B D$ 于点E， $C F$ 的延长线交 $B A$ 的延长线于点G， $E F = 1$ ， $E C = 3$ ，则 $G F$ 的长为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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8. 在同一直角坐标系中，函数 $y = - k x + k$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的大致图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，点A在函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象上，点B在函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $A B ∥ x$ 轴， $B C ⊥ x$ 轴于点C ，则四边形 $A B C O$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $5 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $5 \sqrt{3} - 4 π$ C、 $5 \sqrt{3} - 2 π$ D、 $10 \sqrt{3} - 2 π$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$ 有增根，则 $m =$ ．

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12. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根，则代数式 $\frac{x_{1} + x_{2}}{1 + x_{1} x_{2}}$ 的值为．

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13. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示， $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别表示两人到小亮家的距离 $s (k m)$ 和时间 $t (h)$ 的关系，则出发h后两人相遇．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 边上一点，且 $A E = 2 D E$ ， $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积是 $3$ ，则 $△ B C F$ 的面积是．

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15. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，且 $1 < m < 2$ .下列四个结论：
① $b > 0$ ；

②若 $m = \frac{3}{2}$ ，则 $3 a + 2 c < 0$ ；

③若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

④当 $a \leq - 1$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根.

其中正确的是（填写序号）.

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $C D$ 边上一点，连接 $A M$ ，将 $△ A D M$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B N$ ，在 $A M$ ， $A N$ 上分别截取 $A E$ ， $A F$ ，使 $A E = A F = B C$ ，连接 $E F$ ，交对角线 $B D$ 于点 $G$ ，连接 $A G$ 并延长交 $B C$ 于点 $H .$ 若 $A M = \frac{25}{3}$ ， $C H = 2$ ，则 $A G$ 的长为．

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三、解答题（共8题，共86分）

17.

(1)、化简： $(\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1}) + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 2 x}$

(2)、利用数轴，确定不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x + 4) \geq 2 (1 - x) \\ \frac{x - 1}{2} < 3 - \frac{2 x}{3} \end{array}$ 的解集．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点E， $∠ D C B$ 的平分线交 $A D$ 于点F，点G，H分别是 $A E$ 和 $C F$ 的中点．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、连接 $E F$ ．若 $E F = A F$ ，请判断四边形 $G E H F$ 的形状，并证明你的结论．

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19. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：

调查问题

在下列课外活动中，你最喜欢的是（）（单选）

A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育

填完后，请将问卷交给教务处．

根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：

(1)、本次调查采用的调查方式为（填写“普查”或“抽样调查”）；

(2)、在这次调查中，抽取的学生一共有人；扇形统计图中

n

的值为；

(3)、已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是；

(4)、若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有人．

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20. 如图，一艘轮船在 $A$ 处测得灯塔 $M$ 位于 $A$ 的北偏东 $30 °$ 方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达 $B$ 处，测得灯塔 $M$ 位于 $B$ 的北偏东 $60 °$ 方向上，测得港口 $C$ 位于 $B$ 的北偏东 $45 °$ 方向上．已知港口 $C$ 在灯塔 $M$ 的正北方向上．

(1)、填空： $∠ A M B =$ 度， $∠ B C M =$ 度；

(2)、求灯塔 $M$ 到轮船航线 $A B$ 的距离（结果保留根号）；

(3)、求港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离（结果保留根号）．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6 ， a)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点P，使 $△ A B P$ 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点D， $∠ A D C$ 的平分线 $D E$ 交 $A C$ 于点E．以 $A D$ 上的点O为圆心， $O D$ 为半径作 $⊙ O$ ，恰好过点E．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 12$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5 (a \neq 0)$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $y = x + n$ ．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作 $A M ⊥ B C$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

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24. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 $30 °$ 的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作 $△ A D B$ 和 $△ A^{'} D^{'} C ， ∠ A D B = ∠ A^{'} D^{'} C = 90 ° ， ∠ B = ∠ C = 30 °$ ，设 $A B = 2$ ．
【操作探究】
如图1，先将 $△ A D B$ 和 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 的边 $A D$ 、 $A^{'} D^{'}$ 重合，再将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° \leq α \leq 360 °)$ ，旋转过程中 $△ A D B$ 保持不动，连接 $B C$ ．

(1)、当 $α = 60 °$ 时， $B C =$ ；当 $B C = 2 \sqrt{2}$ 时， $α =$ $°$ ；

(2)、当 $α = 90 °$ 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)、如图2，取 $B C$ 的中点F，将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．

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