备考2024年中考数学计算能力训练6 二次根式的运算

试卷更新日期：2024-03-28 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列二次根式的运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $5 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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2. 下列二次根式的运算正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{8} = 2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3 \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{\frac{4}{5}} \div \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$

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3. 下列二次根式的运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3 \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{\frac{3}{5}} \div \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$

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4. 下列说法中正确的是（）

A、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 化简后的结果是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、9的算术平方根为－3 C、 $\sqrt{8}$ 是最简二次根式 D、－27没有立方根

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5. 下列二次根式的运算：① $\sqrt{2} \times \sqrt{6} = 2 \sqrt{3}$ ，② $\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$ ，③ $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，④ $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ ；其中运算正确的有（）.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $3 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{\frac{7}{11}} \cdot (\sqrt{\frac{11}{7}} \div \sqrt{\frac{1}{11}}) = \sqrt{11}$ C、 $(\sqrt{75} - \sqrt{15}) \div \sqrt{3} = 2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{3} \sqrt{18} - 3 \sqrt{\frac{8}{9}} = \sqrt{2}$

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7. 下列计算正确的是（　　）

A、 $(3 - 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) = 9 - 2 \times 3 = 3$ B、 $(2 \sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2 x - y$ C、 ${(3 - \sqrt{3})}^{2} = 3^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 6$ D、 $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) = 1$

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8. 若 $\sqrt{12} - a \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9. 观察下列二次根式的化简
S₁= $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
S₂= $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = (1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3})$
S₃= $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = (1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ ，则 $\frac{S_{2023}}{2023}$ =（）

A、 $\frac{1}{2022}$ B、 $\frac{2022}{2021}$ C、 $\frac{2024}{2023}$ D、 $\frac{2025}{2024}$

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10. 对于任意实数m，n，若定义新运算 $m \otimes n = {\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) ， \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{array}$ ，给出三个说法：
① $18 \otimes 2 = 2 \sqrt{2}$ ；② $\frac{1}{1 \otimes 2} + \frac{1}{2 \otimes 3} + \frac{1}{3 \otimes 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{99 \otimes 100} = 100 \otimes 1$ ；③ $(a \otimes b) \cdot (b \otimes a) = | a - b |$ ．
以上说法中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

11. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则代数式 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的值是．

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12. 我们在二次根式的化简过程中得知： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2},$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，…，则 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}})$ $(\sqrt{2020} + 1) =$

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13. 已知m为正整数，若 $\sqrt{189 m}$ 是整数，则根据 $\sqrt{189 m} = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 7 m} = 3 \sqrt{3 \times 7 m}$ 可知m有最小值 $3 \times 7 = 21$ .设n为正整数，若 $\sqrt{\frac{300}{n}}$ 是大于1的整数，则n的最小值为，最大值为.

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14. 对于任意的正数m，n，定义新运算※：m※n= $\{\begin{matrix} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) ， \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) ， \end{matrix}$ 则计算(3※2)×(8※12)的结果是.

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15. 若最简二次根式 $\sqrt[x - 1]{x + y}$ 与 $\sqrt{4 x - 2 y}$ 是同类二次根式，则 $\frac{x y}{2} =$ ．

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16. 已知 $a - b = - \sqrt{2} ， a b = \frac{1}{3} ，$ 则代数式 $\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b}$ $+ a^{2} + b^{2} + a b$ 的值等于 .

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三、计算题

17. 已知二次根式 $\sqrt{3 - \frac{1}{2} x}$

(1)、当x=-2时，求二次根式 $\sqrt{3 - \frac{1}{2} x}$ 的值；

(2)、若二次根式 $\sqrt{3 - \frac{1}{2} x}$ 的值为零，求x的值

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18. 计算与解方程：

(1)、 $3 \sqrt{8} - (\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}})$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 \sqrt{2} x - 3 = 0$

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19. 二次根式计算：

(1)、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{18} + \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

(2)、 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - \sqrt{12} \div \sqrt{3}$ ．

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20. 计算： $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^{2} + (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ .

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21. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

(2)、 $\sqrt{2} (\sqrt{18} - \frac{1}{2} \sqrt{8})$ .

(3)、 $\sqrt[3]{27} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + | 3 - \sqrt{5} |$ .

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22. 计算： $(2 \sqrt{5} - 3) (2 \sqrt{5} + 3) - 2 (\sqrt{5} - 1)^{2}$ ．

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23. 化简： $\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + 6 \sqrt{\frac{x}{4}} - 2 x \sqrt{\frac{1}{x}}$ ，并将你所喜欢的 $x$ 值代入化简结果进行计算.

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24. 已知：x＝ $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ，y＝ $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ，求 $\frac{x^{3} - x y^{2}}{x^{4} y - 2 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}}$ 的值．

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四、解答题

25. 定义：若两个二次根式 $A ， B$ 满足 $A \cdot B = c$ ，且 $c$ 是有理数，则称 $A$ 与 $B$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式.

(1)、若 $A$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于 2 的共轭二次根式，则 $A$ $=$

(2)、若 $2 + \sqrt{3}$ 与 $2 + \sqrt{3} m$ 是关于 1 的共轭二次根式，求 $m$ 的值.

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26. 已知二次根式 $\sqrt{x + 1}$ ．

(1)、求使得该二次根式有意义的 $x$ 的取值范围；

(2)、已知 $\sqrt{x + 1}$ 是最简二次根式，且与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 可以合并，
$①$ 求 $x$ 的值；
$②$ 求 $\sqrt{x + 1}$ 与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 的乘积．

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27. $\sqrt{28}$ 化简后与最简二次根式 $\sqrt{3 x + 1}$ 有相同的被开方数，求x的值

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28.

(1)、计算： $(\sqrt{15} - \sqrt{6}) \times \sqrt{3} - \sqrt{32}$ ．

(2)、阅读下面解方程的过程，并完成相应学习任务：
$\frac{x + 1}{2} - \frac{2 - x}{4} = 3$

解：去分母，方程两边同乘4，得

$2 (x + 1) - 2 - x = 12$ ．         第一步

去括号，得

$2 x + 2 - 2 - x = 12$ ．         第二步

移项，得

$2 x - x = 12 + 2 - 2$ ．         第三步

合并同类项，得

$x = 12$ ．         第四步

任务：

①上面解方程的最终目的是使方程逐步变形为“ $x = a$ （已知数）”的形式，体现的数学思想是．（填出字母序号即可）

A.方程思想    B.转化思想    C.特殊到一般的思想

②上面解方程的过程，从第步开始出现错误，错误原因是．

③移项的依据是．

④方程的正确解是．

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29. 阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ ， $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4$ ，我们称 $\sqrt{3}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
$\frac{8}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$ ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

(1)、 $\sqrt{13}$ 的有理化因式为， $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ 的有理化因式为；（均写出一个即可）

(2)、将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：
① $\frac{3}{\sqrt{15}}$ ；
② $\frac{11}{2 \sqrt{5} - 3}$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ 的结果．

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30. 阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道 ${(\sqrt{a})}^{2} = a (a \geq 0)$ ，
例题：求 $\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ 的值．
解：设 $x = \sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ ，两边平方得：
      $x^{2} = {(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} = {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} + {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} + 2 (\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})$ ，
即 $x^{2} = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} + 4$ ， $x^{2} = 10$ ，
      $∴ x = \pm \sqrt{10}$ ，
      $∵ \sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}} > 0$ ，
      $∴ \sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{10}$ ，
请利用上述方法，求 $\sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}}$ 的值．

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五、实践探究题

31. 阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子” $．$ 如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1$ ， $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如 $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式可以是， $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得．

(2)、计算：
① $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1999} + \sqrt{2000}}$ ．
②已知： $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

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